Seminar zur Numerischen Analysis

für Bachelorstudenten der Mathematik
im Wintersemester 2009/2010

Prof. Dr. Wolfgang Dahmen
Dr. Christian Dickopp
Dipl.-Math. Dipl.-Phys. Kolja Brix
Markus Navratil

Aktuelles

• Anne Hanraths Vortrag zum Thema "Kondition der B-Spline Basen" findet am Dienstag, den 10.11.2009 um 15:45 Uhr in Raum 224.3 statt. Der Vortrag am Freitag, den 6.11.2009 entfällt.

Vorbesprechung

Eine erste Vorbesprechung fand bereits am Montag, den 20. Juli 2009 von 11:45 Uhr bis 13:15 Uhr in 1010|149 (Raum 149, Hauptgebäude) statt.

Die zweite Vorbesprechung, in der auch die Themen vergeben und die wöchentlichen Termine festgelegt werden sollen, findet am Freitag, den 4. September 2009 von 10:00 Uhr bis 11:30 Uhr in Raum 224.3 statt.

Termine

Der wöchentliche Vortragstermin findet am Freitag von 8:15 Uhr bis 9:45 Uhr in Raum 224.3 im Hauptgebäude statt.

Ankündigung im CAMPUS-System

Vorbemerkungen

Den zentralen Gegenstand dieses Seminars bilden sogenannte B-Splines. Hierbei handelt es sich um spezielle Basen für Räume (global glatter) stückweiser Polynome. Derartige Räume und diese Basen spielen eine wichtige Rolle in der Konstruktiven Approximationstheorie sowie in zahlreichen Anwendungen wie Interpolation von Daten, Datenfit im maschinellen Lernen, Kurven- und Flächen-Design etwa beim Karosserieentwurf in der Automobilindustrie, um nur einige Beispiele zu erwähnen. In einer Serie von (bis zu) sieben Vorträgen sollen wesentliche Eigenschaften von B-Splines unter unterschiedlichen Blickwinkeln und Anwendungsbezügen erarbeitet werden. Die einzelnen Themen basieren auf den im Abschnitt Literatur angegebenen Quellen.

Themen

1. [2 Vorträge: René Janssens (16.10.2009/23.10.2009) und Anne Hanrath (10.11.2009)]

   Spline-Räume - B-Spline-Basen

   In diesem Teil sollen die grundlegenden Begriffe zu Spline-Räumen vermittelt werden. B-Splines werden motiviert und definiert. Erste grundlegende Eigenschaften werden erarbeitet (wie rekursive Auswertungsalgorithmen), die insbesondere den Nachweis der Basiseigenschaft geeignet gewählter B-Splines erlauben. (Kerninhalt: [4, S. 59-71])

   Kondition der B-Spline Basen

   Dieser Teil behandelt ein erstes zentrales Resultat, nämlich dass die B-Splines nicht nur Basen bilden, sondern dass diese Basen sogar für jede Knotenverteilung und alle L_p-Normen gleichmäßig stabil sind. Das exakte asymptotische Anwachsen der Kondition dieser Basen bei wachsendem Splinegrad, konnte erst vor wenigen Jahren gezeigt werden (von A. Shadrin, am IGPM habilitiert, jetzt Cambridge). Ein zentrales Hilfsmittel bilden sogenannte duale Basen. (Kerninhalt: [4, S. 71-75], ergänzt durch [3])

   Vortragsfolien zum ersten Vortrag zu Räumen und Kondition   Skript zum ersten Vortrag zu Räumen und Kondition

   Vortragsfolien zum zweiten Vortrag zu Räumen und Kondition   Skript zum zweiten Vortrag zu Räumen und Kondition

2. Gastvortrag: Dr.-Ing. Reik Winkel, indurad GmbH, 30.10.2009

   Praktische Herausforderungen an die funktionale Nachbildung einer 2D Kontur von Schüttgutoberflächen am Beispiel von Radar Punktwolken

3. Approximationsgüte von Splines [Felix Gruber (13.11.2009)]

   Dieser Vortrag zeigt auf, wie gut man in typischen Normen durch Splines approximieren kann. Insbesondere wird die Approximationsgüte durch Potenzen der Schrittweite abgeschätzt. Dies sind Prototypen von Abschätzungen, wie sie in vielen anderen Bereichen auch auftreten. Das zentrale Hilfsmittel bilden sogenannte Quasi-Interpolanten. Dies sind konkrete lineare Operatoren mit zahlreichen vorteilhaften Eigenschaften wie Lokalität und Beschränktheit bezüglich aller gängiger Normen. Diese Quasi-Interpolanten beruhen wiederum auf den oben erwähnten dualen Basen. (Kerninhalt: [4, S. 75-81], zu ergänzen durch [2,3])

   Vortragsfolien zur Approximationsgüte   Skript zur Approximationsgüte

4. Spline-Interpolation [Tim Schmölzer (20.11.2009)]

   Dateninterpolation ist die Anwendung, mit der man Splines meist verbindet. In diesem Teil werden die grundlegenden (praktischen und theoretischen) Ergebnisse zur Spline-Interpolation erarbeitet, die sich im gewissen Sinne als Spezialfälle des Satzes von Schoenberg-Whitney einordnen lassen. (Kerninhalt: [4, S. 104-113], ergänzt durch [2,5])

   Vortragsfolien zur Spline-Interpolation   Skript zur Spline-Interpolation

5. Unterteilungsalgorithmen [Miriam Hinzen (27.11.2009)]

   In modernen CAD-Anwendungen spielen sogenannte Subdivision schemes eine zunehmend wichtige Rolle sowohl bei der Generierung von Freiformkurven- und Flächen aber auch zur schnellen graphischen Auswertung solcher Objekte. Solche Techniken lassen sich im Rahmen von B-Splines systematisch und konkret erarbeiten und analysieren. Hierzu ließen sich 2 Vorträge einteilen, was sich für Interessenten anbietet, die gerne zusammenarbeiten würden:
   • Ein vorwiegend algorithmischer Teil zu allgemeinen Knotenverteilungen, woraus man allerdings als wichtiges theoretisches und praktisches Resultat die "variationsvermindernde" Eigenschaft von B-Spline-Darstellungen herleiten kann. (Kerninhalt: [4, S. 81-88], ergänzt durch [2,6])
   • Der Fall äquidistanter Knoten - Cardinale B-Splines - mit eher analytischem Schwerpunkt. (Kerninhalt: [4, S. 95-103], ergänzt durch [6])

   Vortragsfolien zu Unterteilungsalgorithmen   Skript zu Unterteilungsalgorithmen

Vortrag und Ausarbeitungen

Die Vorträge der Teilnehmer umfassen jeweils 90 Minuten und finden voraussichtlich im wöchentlichen Abstand statt. Die Inhalte der Vorträge sollen wenn möglich durch Illustrationen, numerische Beispiele und Experimente veranschaulicht werden.

Die Ausarbeitungen der Studenten zu den Vorträgen sollen mit LaTeX erstellt werden. Aus den Ausarbeitungen soll ein Skriptum für alle Teilnehmer entstehen. Daher sollen diese eine einheitliche Form erhalten. Wir stellen die entsprechende LaTeX-Vorlage und die Literaturangaben im BibTeX-Format für Sie bereit.

Strichzeichnungen zur Illustration sollten wenn möglich als Vektorgrafiken erstellt und eingebunden werden.

Präsentationen können auch mit dem LaTeX-Paket latex-beamer erstellt werden. Bitte beachten sie die sehr gute Anleitung zum Paket latex-beamer. Eine Vorlage für eine Präsentation haben wir bereitgestellt.

Die Ausarbeitungen müssen zwei Wochen vor dem Vortrag beim Betreuer abgegeben sein.

Literatur

• [1] C. de Boor, A Practical Guide to Splines, Springer, Heidelberg, 1978.
  [zu finden als Präsenzexemplar in der Semesterliteratur der Bibliothek der mathematischen Institute]
• [2] C. de Boor, Splinefunktionen, Lectures in Mathematics, ETH Zürich, Birkhäuser, Basel, 1990.
  [zu finden als Präsenzexemplar in der Semesterliteratur der Bibliothek der mathematischen Institute]
• [3] C. de Boor, Splines as linear combinations of B-splines, a survey, in: Approximation theory II, G.G. Lorentz, C.K. Chui, L.L. Schumaker (eds.), Academic Press, New York, pp. 1-47.
• [4] W. Dahmen, Mathematische Methoden in der Geometrischen Datenverarbeitung, Vorlesungsskript.
• [5] R.A. DeVore, G.G. Lorentz, Constructive Approximation, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer, Heidelberg, 1993.
• [6] C.A. Micchelli, Mathematical Aspects of Geometric Modelling, CBMS-NSF Conference Series in Applied Mathematics, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, 1995.
• [7] W. Dahmen, B-Splines in Analysis, Algebra and Applications, Travaux Mathématiques, 10, 15-76, 1998.

Weiterführende Literatur

Für tiefergehendes Verständnis einiger Themen wird weiterführende Literatur auf Anfrage empfohlen.

Software

Software kann auf Anfrage empfohlen werden.

LaTeX

Um die Ausarbeitung für das Seminar zu erstellen, benötigen Sie Grundkenntnisse des Textsatzsystems LaTeX. Sollten Sie LaTeX nicht bereits beherrschen, empfehlen wir dringend eine Teilnahme am LaTeX-Kurs des fIT-Teams des Rechen- und Kommunikationszentrums, der am 10. August 2009 beginnt.

Hier finden sie einige Links zur Bedienung des Satzsystems LaTeX:

• Eine kurze Einführung erklärt die Grundlagen zu LaTeX.
• Übersicht über die Möglichkeiten des Mathematikmodus in LaTeX.
• LaTeX-FAQ: Viele oft gestellte Fragen zu LaTeX werden in der FAQ der DANTE (Deutschsprachige Anwendervereinigung TeX e.V.) beantwortet.
• Einige veraltete Befehle (z.B. aus LaTeX 2.09) sollten nicht mehr benutzt werden. Diese Übersicht informiert über veraltete Befehle und zeigt Alternativen auf.
• Für Zweifelsfälle gibt es die Mailingliste de.comp.text.tex.

Grafiken

Zur Illustration sind Strichzeichnungen als Vektorgrafiken oft sehr nützlich. Als Werkzeuge empfehlen wir

• xfig auf UNIX-Betriebssystemen, WinFIG auf Windows-Betriebssystemen oder alternativ
• Inkscape auf Linux, Windows und MacOS.

Bei allen drei Programmen lassen sich auch LaTeX-Formeln als Beschriftungen in die Grafiken einbinden.

Themenvergabe

Bei ersthaftem Interesse, eines der obigen Themen zu übernehmen, senden Sie bitte bis zum 28. August 2009 eine Email unter Angabe Ihres Names, Ihrer Matrikelnummer und der Nummer des gewünschten Themas mit dem Betreff "Seminar Splines" an die Emailadresse des Seminars seminar-splines@igpm.rwth-aachen.de.

Anmeldung

Die Anmeldung für das Modul erfolgt nach Zuteilung eines Themas über CAMPUS Office.