Dynamische Systeme

Dynamische Systeme: DynManif

Eine Einführung

Dieses Gebiet innerhalb der Mathematik befaßt sich mit der zeitlichen Entwicklung von Systemen. Hier können beispielsweise physikalische Modelle (Planetenbewegung, Schwingkreis), chemische (Reaktion) oder auch biologische (Räuber-Beute) zugrunde liegen. Mathematisch beschreiben lassen sie sich oft durch eine gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) x'=f(x), die dann den Ansatz für weitere Untersuchungen darstellt.

Wurden zunächst in der Numerischen Analysis lediglich einzelne Lösungen einer solchen DGL betrachtet, so interessieren heute mehr und mehr die globalen Eigenschaften des Systems: In welcher Beziehung stehen die einzelnen Lösungen zueinander? Gibt es besondere Klassen von Lösungen mit speziellen Eigenschaften? Von besonderem Interesse ist die Frage, ob kleine Störungen das System kaum beeinflussen oder drastische Änderungen zur Folge haben, so daß das System seine Struktur verändert (Verzweigung).

Invariante Mannigfaltigkeiten

Gewissermaßen das Skelett eines dynamischen Systems bilden die invarianten Mannigfaltigkeiten. Invariant bedeutet hier, daß Lösungen der DGL, die auf der Mannigfaltigkeit starten, diese nicht mehr verlassen können. Die invarianten Mannigfaltigen sind daher Vereinigungen von Einzellösungen und können als Verallgemeinerung einer einzelnen Bahn interpretiert werden. Betrachtet man das dynamische System auf der Mannigfaltigkeit, so sieht man ein eigenständiges Teilsystem, das sich (vielleicht) leichter untersuchen läßt. Es beeinflußt darüber hinaus das Verhalten des Systems in der Umgebung, so daß daraus ein Überblick über das Gesamtsystem gewonnen werden kann.

Der einfachste Fall einer invarianten Mannigfaltigkeit ist der nulldimensionale: ein Gleichgewichtspunkt (Fixpunkt); hier ändert sich die Lösung überhaupt nicht. Der eindimensionale Fall wäre eine Kurve. Sie kann zum Beispiel irgendwo im Unendlichen anfangen und dann wieder im Unendlichen verschwinden. Sie kann aber auch bei einem Fixpunkt beginnen und zu ihm oder einem anderen Fixpunkt laufen (homokline bzw. heterokline Bahn). Eine weitere Möglichkeit wäre eine periodische Bahn, bei der die Lösung immer im Kreis läuft. Eine Lösung kann auch bei einem Punkt starten und sich spiralförmig immer enger um einen Fixpunkt oder Kreis wickeln etc.

Das zweidimensionale Analogon zur periodischen Bahn ist die Oberfläche des Torus. Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall sind hier unendlich viele Lösungen aufgewickelt. Das können periodische Bahnen sein oder solche, die nicht wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren und sich dabei dicht um den Torus wickeln.

Ferner können sämtliche oben genannten null- und eindimensionalen Phänomene auf dem Torus auftreten. Daneben gibt es weitere zwei- und höherdimensionale Mannigfaltigkeiten wie beispielsweise Zylinder oder 3-Tori.

Verzweigungen des Systems kann man an Veränderungen des Skeletts erkennen: invariante Mannigfaltigkeiten entstehen oder verschwinden, sie treffen aufeinander, aus einem Kreis wird ein dünner Torus usw. Daher ist das Skelett zur Untersuchung der Verzweigungen von großer Bedeutung.

Um vom Skelett auf das Gesamtsystem schließen zu können, muß man natürlich die Frage klären, ob die Mannigfaltigkeiten attraktiv oder abstoßend sind oder gar anziehende und abstoßende Richtungen haben.

Numerische Approximation

Da man nur in den seltensten Fällen die Mannigfaltigkeiten exakt angeben kann, müssen andere Wege beschritten werden, um (mit Rechnerhilfe) zumindest eine gute Näherung zu erhalten. Eine Möglichkeit dazu ist im folgenden Programm verwirklicht.

Das Programm "DynManif"

Mit Hilfe von "DynManif" lassen sich attraktive invariante Mannigfaltigkeiten in einer Familie von kontinuierlichen dynamischen Systemen bestimmen, dabei werden grundlegende Ideen von Dieci und Lorenz [1] benutzt. Eine ausführliche Darstellung der Algorithmen findet sich in [8]. Ähnliche Algorithmen, allerdings mit dem Schwerpunkt auf diskreten dynamischen Systemen werden in [6] vorgestellt.

Analytischer Hintergrund

Der Algorithmus baut auf der Störungstheorie normal hyperbolischer Mannigfaltigkeiten (siehe [2] und [4]) auf. Normal hyperbolisch bedeutet, daß Anziehung und Abstoßung in Normalenrichtung der Mannigfaltigkeit stärker als innerhalb sind. Stört man nun ein solches System leicht, so kann man zeigen, daß auch das neue System in der Nähe wieder eine invariante Mannigfaltigkeit besitzt. Dies macht sich das Programm zunutze, indem ein Startsystem, wo eine invariante Mannigfaltigkeit (zumindest näherungsweise) bekannt ist, immer weiter gestört und die veränderte Mannigfaltigkeit in jedem Schritt berechnet wird (Fortsetzungsalgorithmus).

Graphtransformation

Fenichel [2] zeigt die Existenz der Mannigfaltigkeit in dem gestörten System mit Hilfe der Graphtransformation. Sei dazu M° die invariante Mannigfaltigkeit des ungestörten Systems und NM° ihr Normalenbündel. Mannigfaltigkeiten M in der Umgebung von M° lassen sich als Graphen von Funktionen m_lok : M° -> NM° auffassen. Die Graphtransformation G bildet nun eine solche Funktion m_lok auf eine Funktion G(m_lok) mit der Eigenschaft graph(G(m_lok))=F(graph(m_lok)) ab, wobei F die Zeit-t-Abbildung zur gestörten DGL ist. Oder anders formuliert: Für jeden Punkt aus graph(m_lok) als Startpunkt löst man die gestörte DGL für eine gewisse Zeit t und parametrisiert das Ergebnis wieder über M° (in dem lokalen Koordinatensystem, das von M° und NM° aufgespannt wird). Mit Hilfe der Hyperbolizität von M° kann man nachweisen, daß G ein kontrahierender Operator ist und somit genau einen Fixpunkt besitzt. Dieser Fixpunkt entspricht der gesuchten invarianten Mannigfaltigkeit des gestörten Systems und läßt sich einfach durch Iteration der Graphtransformation beliebig gut annähern. (Genau genommen, funktioniert dies nur, falls die Mannigfaltigkeit attraktiv ist; für den allgemeinen hyperbolischen Fall muß man die Graphtransformation modifizieren.)

Numerik

Im Programm "DynManif" wird dieses Verfahren speziell für Tori, Kreise und nicht-geschlossene Kurven diskret nachgebildet: Die Mannigfaltigkeiten werden durch (bi)kubische Splines approximiert, auf die dann eine diskretisierte Fassung der Graphtransformation angewendet wird.

Diskretisierung der Mannigfaltigkeiten

Weil das Wechseln zwischen dem Koordinatensystem der DGL und dem Koordinatensystem, das von M° und NM° aufgespannt wird, zu aufwendig ist, werden die Mannigfaltigkeiten im Programm in denselben Koordinaten wie die DGL dargestellt:

Eine Kurve M läßt sich durch eine Funktion m : [0,1] -> M parametrisieren. Legt man auf dem Intervall [0,1] ein Gitter fest, so kann m durch einen kubischen Spline ersetzt werden, und man erhält eine Diskretisierung der Kurve, die stetig differenzierbar ist. Ein Kreis läßt sich ebenso diskretisieren, man bekommt nur für m bzw. den approximierenden Spline periodische Randbedingungen.

Ein Torus M läßt sich durch eine Funktion m : [0,1]² -> M mit periodischen Randbedingungen parametrisieren. Legt man auf dem Einheitsquadrat [0,1]² ein Rechteckgitter fest, so kann m durch einen stetig differenzierbaren bikubischen Spline ersetzt werden.

Man muß allerdings die Graphtransformation auf eine größere Klasse von Funktionen ausdehnen, damit sie auch für die diskretisierten Funktionen wohldefiniert bleibt. Dies wird in [8] ausgeführt.

Diskretisierung der Graphtransformation

Neben der Mannigfaltigkeit M°, die das Koordinatensystem festlegt, sei eine weitere Mannigfaltigkeit M gegeben, auf die die Graphtransformation G angewendet werden soll. Beide sind durch Splines m° und m parametrisiert. In DynManif sind drei verschiedene Diskretisierungen implementiert, die sich erheblich im Rechenzeitbedarf und in der Robustheit unterscheiden:

Schießverfahren:
Zu jedem Gitterpunkt x auf M° gehört ein Punkt m(x) auf M, der im Normalraum NM° von x ist. Gesucht ist nun ein Punkt y auf M, so daß G(m(x)):=F(y) ebenfalls im Normalraum NM° von x liegt. Weil in diesem Problem der Fluß F der gestörten DGL involviert ist, führt dies auf ein gewöhnliches Randwertproblem (RWP). Dieses kann mit Hilfe des Schießverfahrens (Shooting) gelöst werden.
Nachteil: Das Lösen der RWPs ist relativ zeitaufwendig.
Zweischritttransformation:
Um eine höhere Effizienz zu gewährleisten, werden hier Anfangswertprobleme (AWPs) statt RWPs gelöst. Dies wird erreicht, indem zunächst nur der Fluß ausgewertet und erst in einem zweiten Schritt die Parametrisierung korrigiert wird: Zu jedem Gitterpunkt m(x) auf M berechnet man das Bild F(m(x)) unter F und interpoliert nun durch diese Punkte. Der Schnittpunkt dieser Fläche mit dem Normalraum NM° zu dem Punkt x liefert dann G(m(x)).
Vorteil: Wesentlich höhere Effizienz.
Nachteil: Etwas geringere Genauigkeit.
Floating:
In einigen Fällen ist das lokale Koordinatensystem, bestehend aus M° und NM°, zu ungünstig für den Algorithmus. Statt nun die Mannigfaltigkeit F(m) aus der Zweischritttransformation mit Hilfe des Normalenbündels NM° umzuparametrisieren, tut man dies mit Hilfe des nachfolgenden Algorithmus (ohne ein äußeres Koordinatensystem zu bemühen). Nach einigen Iterationen wechselt man zu einem der beiden anderen Verfahren.
Vorteil: Liefert oft auch dann Ergebnisse, wenn die anderen Algorithmen versagen.
Nachteil: Die Reparametrisierung kann sehr aufwendig sein (insbesondere bei Tori).

Reparametrisierung der Mannigfaltigkeiten

Für das Floating benötigt man eine Methode, die eine Mannigfaltigkeit umparametrisiert, ohne auf ein äußeres Koordinatensystem zurückzugreifen. Ein solches Verfahren erweist sich auch als nützlich, wenn die Parametrisierung im Laufe des Fortsetzungsalgorithmus immer schlechter wird, obwohl für die Startmannigfaltigkeit noch eine gute (gleichmäßige) Parametrisierung m angegeben werden konnte. Um ein solches Verhalten zu vermeiden, wird die Mannigfaltigkeit in gewissen Abständen umparametrisiert.

Bei Kurven (inklusive Kreisen) kann dies über die Bogenlänge geschehen, bei Tori kann man eine Idee von Moore [5] verwenden: Man ersetzt m durch eine konforme Abbildung

m_neu:=m · w^-1,

wobei w : [0,1]² -> [0,1]² dieselben Fundamentalgrößen wie m aufweist. Zur Berechnung der Funktion w werden die Lösungen der Laplace-Beltrami-Differentialgleichung benötigt, die mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM) auf dem bereits vorhandenen Rechteckgitter bestimmt werden.

Bemerkungen

Weil von dem Dynamischen System im Programm nur die Zeit-t-Abbildung F benötigt wird, lassen sich mit "DynManif" auch invariante Mannigfaltigkeiten für Diffeomorphismen berechnen, indem man F durch den Diffeomorphismus ersetzt (vgl. "Arnol'd Familie" bei den Beispielen).
Momentan funktioniert "DynManif" nur bei attraktiven Mannigfaltigkeiten. Die Graphtransformation kann jedoch für hyperbolische Mannigfaltigkeiten modifiziert werden (siehe [6]).

Download

Die aktuelle Version von DynManif ist DynManif-1.0.0.zip.

Bitte berichten Sie mir über Ihre Erfahrungen mit dem Programm! Anregungen (und Fehlerkorrekturen) sind jederzeit willkommen.

DynManif ist komplett in C++ geschrieben. Die Algorithmen sind als Templates implementiert, so daß verschiedene Typen von Mannigfaltigkeiten mit denselben Algorithmen verarbeitet werden können. Zur Zeit stehen Tori, Kreise und Kurven (sowie einzelne Punkte zu Demonstrationszwecken) als Mannigfaltigkeiten zur Verfügung.

Zur Parallelverarbeitung auf Multi-Prozessor-Rechnern unterstützt DynManif OpenMP.

Beispiele

Die invarianten Kreise und Tori in den folgenden Beispielen wurden jeweils mit DynManif berechnet.

Gemittelter Van der Pol-Oszillator

Je nach Wahl der Parameter macht das System verschiedene Verzweigungen durch, wenn man den Fortsetzungsparameter ändert. Dabei bleiben Ausgangssituation (ein abstoßender Fixpunkt in einem invarianten Kreis) und die Endsituation (nur ein attraktiver Fixpunkt) jeweils gleich, auch wenn die Endsituation hier nicht immer gezeigt wird:

Zwei Saddle-Node-Verzweigungen auf dem invarianten Kreis
Ein ähnlicher Verlauf als Film [ mov (Quicktime, 510 KB) ]
Eine Saddle-Node-Verzweigung auf dem Kreis - danach wird ein Flip und eine weitere Saddle-Node-Verzweigung folgen
Eine Saddle-Node-Verzweigung auf dem Kreis und eine Hopf-Verzweigung - danach wird eine weitere Saddle-Node-Verzweigung folgen
Eine Hopf-Verzweigung
Ein ähnlicher Verlauf als Film [ mov (Quicktime, 670 KB) ]

Van der Pol-Oszillator

mehr in Zukunft

Gekoppelte Oszillatoren

mehr in Zukunft

Arnol'd Familie

mehr in Zukunft

Literatur

[1] L. Dieci, J. Lorenz:
Computation of invariant tori by the method of characteristics
SIAM J. Numer. Anal. 32, No. 5, pp. 1436-1474, 1995

[2] N. Fenichel:
Persistence and Smoothness of Invariant Manifolds for Flows
Indiana University Mathematics Journal 21, No. 3, 1971

[3] E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner:
Solving Ordinary Differential Equations I, 2nd Edition
Springer, Berlin 1993

[4] M. W. Hirsch, C. C. Pugh, M. Shub:
Invariant Manifolds
Springer Lecture Notes in Mathematics 583, Berlin 1977

[5] G. Moore:
Computation and Parametrisation of Invariant Curves and Tori
SIAM J. Numer. Anal. 33, No. 6, pp. 2333-2358, 1996

[6] H. M. Osinga:
Computing Invariant Manifolds
Doktorarbeit an der Rijksuniversiteit Groningen (Niederlande), 1996

[7] V. Reichelt:
Computing Invariant Tori and Circles in Dynamical Systems
in: E. Doedel et al. (editors): Numerical methods for bifurcation problems and large-scale dynamical systems
IMA Vol. Math. Appl. 119, pp. 407-437, Springer, New York, 2000
[ ps (1.7 MB) ] [ pdf (2.9 MB) ]

[8] V. Reichelt:
Berechnung invarianter Mannigfaltigkeiten in dynamischen Systemen
Dissertation an der RWTH Aachen, Verlag Mainz, Aachen, 2001

Volker Reichelt, letzte Änderung am 31. August 2006

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