| Sommer | Zeit | Ort | Vorlesung | Freitag 13:30-15:10 | Seminarraum 224.3 | Übung | Freitag 15:15-16:00 | Seminarraum 224.3 |
5 ECTS
Beginn: 8. April 2022
Der klassische Funktionsbegriff reicht für einige Zwecke nicht aus, so sind klassiche Funktionen etwa nicht immer beliebig oft differenzierbar. Ein Ausweg wird durch eine neue allgemeinere Klasse von Objekten gegeben, die Distributionen. Die Theorie der Distributionen ist von fundamentalem Interesse in der modernen Analysis, mit Anwendungen in partiellen Differentialgleichungen, Fourieranalyse, Differentialgeometrie und der theoretischen Physik.
Distributionen werden als lineare Funktionale auf einem Raum sogenannter Testfunktionen definiert. Wir behandeln Differentiation von Distributionen, Fouriertransformation und Faltung, Konvergenz, Distributionen mit kompaktem Träger, Koordinatentransformationen und grundlegende Sätze über die Invertierbarkeit der Fouriertransformation sowie, falls Zeit bleibt, die Existenz von Grundlösungen linearer partieller Differentialgleichungen.
Deltafunktion, Ladungsverteilung, Schwartzraum.
Für: Studierende der Mathematik, Physik, ..., nach den Grundvorlesungen.
Analysis I-III bzw. äquivalente Bachelorvorlesungen in anderen Fächern. Ich werde mich auf die tatsächlich vorhandenen Kentnisse sowie Wünsche der Hörer einstellen.
Freitag 8. April. Einleitung, Motivation. Aufgaben: 1.4, 1.5, 1.2.
Freitag 22. April. Testfunktionen, Distributionen. Aufgaben: E1 (pdf, ps), 2.5, 2.4.
Freitag 29. April. Ordnung von Distributionen. Aufgaben: 2.2, 2.3, 3.1.
Freitag 6. Mai. Ableitung von Distributionen. Aufgaben: 4.6, 4.7, 4.5.
Freitag 13. Mai. Konvergenz von Distributionen, Taylorentwicklung in n Variablen, Lokalisation. Aufgaben: 5.1, 5.2, E.2 (pdf, ps).
Freitag 20. Mai. Lokalisation, Distributionen mit kompaktem Träger. Aufgaben: 5.5, 6.2, 7.3.
Freitag 27. Mai. Distributionen mit kompaktem Träger, Transposition, pullback und pushforward. Aufgaben: 5.6, 7.4, 8.1.
Freitag 3. Juni. Charakterisierung von Distributionen mit kompaktem Träger, Multiplikation mit Funktionen. Aufgaben: 8.2, 10.25, 8.4.
Freitag 17. Juni. Multiplikation, Falten von Distributionen mit Funktionen. Aufgaben: 9.2, 9.4, 9.10.
Freitag 24. Juni. Falten von Distributionen, Fundamentallösungen. Aufgaben: 11.8, 11.5, 11.3.
Freitag 1. Juli. Fouriertransformation. Aufgaben: 12.7, 12.11, 14.8.
Freitag 8. Juli. Inverse Fouriertransformation. Aufgaben: 14.1, 14.7, 14.13.
Freitag 15. Juli. Fundamentallösungen und Fouriertransformation. Aufgaben: 17.2, 17.6, 17.7.