Hamiltonsche Dynamische Systeme

Heinz Hanßmann

Sommer	Zeit	Ort
Vorlesung	Freitag 14:15 - 15:45	Seminarraum 224.3
Übung	Freitag 16:00 - 16:45	Seminarraum 224.3

5 ECTS

Beginn: 14. April 2023

Am 5. Mei fängt die Vorlesung erst um 15:30 an; im April war der Anfang respektive um 13:30, 14:30 und 13:30 gewesen.

Beschreibung

Die Hamiltonsche Formulierung der Newtonschen Mechanik stellt sich in zwei wichtigen Punkten als besonders nützlich heraus. Zum einen können die in den meisten ``klassischen'' Systemen auftretenden Symmetrien sehr effizient zur Vereinfachung des Problems herangezogen werden. Zum anderen finden sich ``in der Nähe'' von komplizierten Systemen häufig einfachere Systeme, die vollständig beschrieben werden können. Hierdurch kann man mittels der Störungstheorie auch Aussagen über das ursprüngliche Problem treffen.

Wir werden uns nach einer kurzen Einführung in die Theorie der Hamiltonschen Systeme beiden Problemkreisen ausführlich widmen. Dabei werden wir uns vornehmlich an Beispielen orientieren, insbesondere wird die nötige Theorie immer erst dann herangezogen, wenn sie auch wirklich gebraucht wird.

Einige weitere Stichworte

Systeme mit einem Freiheitsgrad, Satz von Liouville, Integrable Systeme, Normalformen, KAM-Theorie und, falls Zeit bleibt, der Langrangesche Kreisel.

Für: Studierende der Mathematik, Physik, ... , ab 4. Semester.

Voraussetzungen

Grundlagen der gewöhnlichen Differentialgleichungen wie sie z.B. aus der Analysis III oder aus der Höheren Mathematik bekannt sind.

Literatur

R. Abraham and J.E. Marsden

Foundations of Mechanics (2nd ed.)

Benjamin (1978)

V.I. Arnold

Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.)

GTM 60, Springer (1989)

V.I. Arnold, V.V. Kozlov and A.I. Neishtadt

Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics

in Dynamical Systems III

Springer (1988)

H.W. Broer, F. Dumortier, S.J. van Strien and F. Takens

Chapter 9 of Structures in dynamics

Finite-dimensional deterministic studies

North-Holland (1991)

R.H. Cushman and L.M. Bates

Global Aspects of Classical Integrable Systems

Birkhäuser (1997)

G. Gallavotti

The elements of mechanics

Springer (1983)

V. Guillemin and S. Sternberg

Symplectic techniques in physics

Cambridge University Press (1984)

H. Hanßmann

Hamiltonian Dynamical Systems

Vorlesungsskript (2023)

P. Liberman and C.-M. Marle

Symplectic geometry and analytical mechanics

D. Reidel (1987)

A.J. Lichtenberg and M.A. Lieberman

Regular and stochastic motion/chaotic dynamics

Springer (1983/1992)

J.E. Marsden

Lectures on mechanics

LMS Lecture Notes Series 174, Cambridge University Press (1992)

J.E. Marsden and T.S. Ratiu

Introduction to Mechanics and Symmetry

Springer (1994)

K.R. Meyer and G.R. Hall

Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the $N$-Body Problem

Applied Mathematical Sciences 90, Springer (1992)

J. Montaldi and T. Ratiu

Geometric Mechanics and Symmetry: the Peyresq Lectures

LMS Lecture Notes Series 306, Cambridge University Press (2005)

P.J. Olver

Chapter 6 of Applications of Lie groups to differential equations

Springer (1986)

W. Thirring

Klassische Dynamische Systeme

Springer (1977)

F. Verhulst

Chapter 15 of Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems

Springer (1990)

Inhalt

Freitag 14. April. Allgemeine Übersicht: Newtonsche Mechanik, Lagrangesche Mechanik, Hamiltonsche Mechanik. Eindimensionales Teilchen, harmonischer Oszillator, Phasenportraits, ein enharmonischer Oszillator und seine Entfaltungen. Aufgaben: 1.4, 1.5, 1.1.

Freitag 21. April. Die Zentrumsattelverzweigung, das mathematische Pendel. Aufgaben: 2.6, 2.4, 2.9.

Freitag 28. April. Hamiltonsche Systeme auf der Sphäre S^2, Poissonstrukturen, Casimirfunktionen, Beispiele. Theorie: Hamiltonsche Flüsse erhalten die Poissonstruktur. Aufgaben: 3.9, 3.1, 3.12.

Freitag 5. Mai. Sätze von Darboux, Liouville und Poincaré. Systeme mit zwei Freiheitsgraden. Aufgaben: 4.9, 4.1, 4.6.

Freitag 12. Mai. Ebenes Zentralkraftfeld. Aufgaben: 5.5, 5.8, 5.7.

Freitag 19. Mai. Keplersystem. Aufgaben: 5.12, 5.14, 5.18.

Freitag 26. Mai. Wiederholung Zentralkraftfeld: Oszillator. Aufgabe: 5.20.

Freitag 9. Juni. Dirac-Klammern des sphärisches Pendels, Reduktion auf einen Freiheitsgrad. Aufgaben: 6.4 und 6.5.

Freitag 16. Juni. Dynamik in einem Freiheitsgrad, Rekonstruktion zu zwei Freiheitsgraden. Aufgaben: 6.3 und 6.13.

Freitag 23. Juni. Winkelwirkungsvariablen des sphärisches Pendels. Gekoppelte Oszillatoren. Aufgaben: 7.2 und 6.11.

Freitag 30. Juni. Normalisierung. Aufgaben: 7.8 und 7.7.

Freitag 7. Juli. Die Hamiltonsche Hopfverzweigung. Aufgaben: 7.11 und 7.12.

Freitag 14. Juli. Störungstheorie. Aufgaben: 9.2 und 9.3.