Numerik I für Maschinenbauer - SS 2008

Infos zur aktuellen Woche

In der 10. Woche behandeln wir weiter nicht-lineare Gleichungen und Gleichungssysteme. Wir nehmen nun auch im Mehrdimensionalen das Newton- und das vereinfachte Newtonverfahren hinzu.

Klausur F08 Aufgabe 3
Gesucht sind die Lösungen des folgenden nichtlinearen Gleichungssystems:
x²/2 + y² - 9 = 0
x y +3/2 x - 7/2 = 0

Fertigen Sie eine Skizze an, die die Lage der Lösung(en) im 1. Quadranten verdeutlicht. Bestimmen Sie einen guten ganzzahligen Bereich [x_u,x_o] x [y_u,y_o], in dem eine Lösung liegt.
Geben Sie für die in a) fixierte Lösung eine geeignete 2D-Fixpunktgleichung an, und weisen Sie hierfür die Voraussetzungen des Fixpunksatzes von Banach nach. Begründen Sie Ihre Aussagen.
Eine weitere Lösung liegt in [4,5]x[-1,0]. Für diese ist
x = sqrt(18-2y²}
y = (7-3x)/(2x)
eine geeignete Fixpunktiteration mit Kontraktionszahl (bez. der infty-Norm) L=0.5. Wieviele Schritte sind ausgehend von dem ganzzahligen Startwert (x₀,y₀)=(4,-1) höchstens erforderlich, um eine Genauigkeit von epsilon=2 10^-6 zu erzielen.
(In der Klausur nicht gestellt) Geben Sie eine a-posteriori-Fehlerabschätzung für (x₂,y₂) an.

Vorgerechnet werden die Aufgaben

Aufgabe 5.8 (System: Newton- und vereinfachtes Newton-Verfahren)
Klausur F08 Aufgabe 3 (System: Fixpunktverfahren - s.o.)

Hausaufgaben (vorbereiten zum Vorrechnen) sind die Aufgaben

Aufgabe 5.7 (System: Newton- und vereinfachtes Newton-Verfahren)
Aufgabe 5.12 (System: Fixpunkt-/Newton-verfahren)
Aufgabe 5.13 (System: Fixpunkt-/Newton-verfahren)

Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 10. Juni 2008