Numerik I für Maschinenbauer - SS 2011

Herr Reusken hat in der Vorlesung das Kapitel 5 jetzt mit der Dämpfung und dem vereinfachten Newtonverfahren ganz abgeschlossen. Weiterhin hat er den nichtlinearen Ausgleich (Kapitel 6) mit Ausnahme des Levenberg-Marquardt-Verfahrens ebenfalls komplett behandelt.
In der 11. Woche gehen wir bei den Verständnisfragen noch einmal kurz auf nicht lineare Gleichungen/Gleichungssysteme ein Danach behandeln wir den nichtlinearen Ausgleich.
Das Verfahren hierzu ist das Gauss-Newton-Verfahren. Wir benutzen zur Lösung des linearisierten Problems sowohl die Normalgleichungen (Cholesky) als auch orthogonale Transformationen.
Der Kernpunkt des Newton- und des Gauss-Newton-Verfahrens ist die Taylorentwicklung und die daraus resultierende Approximation erster Ordnung (hier ≈ statt . über =) F(x) ≈ F(xn)+F'(xn)(x-xn). Setzen wir dies zu Null und nennen das x dann xn, so erhalten wir mit Δxn = xn+1-xn das Newton Verfahren bzw. beim Ausgleich das Gauss-Newton-Verfahren aus ||F(xn)+F'(xn)Δxn||2 → min.
Beim nichtlinearen Ausgleich unterscheiden wir wieder zwei Ansätze:
  1. explizit: y(t)=f(x; t) mit Messwerten (ti, fi)
  2. implizit: F(x; y)=0 mit Messwerten yi
Hat man die Messwerte eingesetzt, so hat man in beiden Fällen ein nichtlineares Ausgleichsproblem ||F(x)||2 → min. Für kleine Beispiele kann man das machen und dann für die Linearisierung   (||F(xn)+F'(xn)Δxn||2 → min)   F(x) ableiten. Eigentlich braucht man aber nur eine Zeile, d.h. die Ableitung von f(x; t) bzw. F(x; y) nach x, abzuleiten und auch nur dafür die Linearisierung hinzuschreiben. Das komplette System bildet man dann per Schleife über die Messwerte.

Übersicht
lineare Gleichungssystem, nicht lineare Gleichungssystem, linearer Ausgleich, nicht linearer Ausgleich
  linear → nicht linear Verfahren
Gleichung A x=b ⇔ A x-b=0 → f(x)=0 f(xn)+f'(xn)Δxn=0
f'(xn)Δxn=-f(xn)
↓ ↓   ↓  
Ausgleich ||A x-b||2 → min → ||F(x)||2 → min ||F(xn)+F'(xn)Δxn||2 → min
||F'(xn)Δxn-(-F(xn))||2 → min


Vorgerechnet werden die Aufgaben Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben


Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 7. Jun 2011