%% Beispiel eines lineares Ausgleichsproblems
%  Gegeben sei ein Modell (Bildungsgesetz) der Form
%                         y(t)=\frac{\alpha}{1+t}+ \beta t^2,   t \in [0,2],
% mit unbekannten Parametern . Hierzu liegen (Meß)Daten  (t_i,b_i),  i=1, \ldots ,11, vor:

clear all;
ti= [0;  0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8; 2.0]; 
%b= [1; 0.7; 0.9; 0.8; 0.95; 1.24; 1.56; 1.97; 2.23; 2.4; 2.76];
b= [2; 1.7; 1.9; 1.8; 1.95; 2.24; 2.4; 2.97; 3.23; 3.4; 3.76];

% Das entsprechende  lineare  Ausgleichsproblem zur Bestimmung der unbekannten Parameter kann man als \| Ax-b\|_2 \to \min formulieren,  mit
%  a_{i,1}=\frac{1}{1+t_i}, \quad a_{i,2}=t_i^2,\quad i=1,\ldots,11.
% Die Matrixeinträge entsprechen dabei gerade den Vorfaktoren zu den linearen Parametern \alpha und \beta.

A=zeros(11,2);
A(1:11,1)=1./(1+ti);
A(1:11,2)=ti.^2;
A

%
% Die Lösung des Ausgleichsproblems wird berechnet und geplottet:

fprintf('\n Lösung des Ausgleichsproblems: \n')
x=A\b 
plot(ti,b,'*')
hold on;
fplot(@(t) x(1)./(1+t)+x(2).*t.^2,[0 2])
title('Daten $\ast$ und Ausgleichskurve $y(t)$','Interpreter','latex');
hold off;

%% Aktivität:
% Sie können die Daten im Vektor b ändern und die Lösung neu berechnen lassen.
%
%