Numerik I für Maschinenbauer - SS 2009

Infos zur aktuellen Woche

In der 10. Woche behandeln wir zunächst weiter nicht-lineare Gleichungen und Gleichungssysteme. Wir nehmen nun auch im Mehrdimensionalen das Newton- und das vereinfachte Newtonverfahren hinzu.
Dann behandeln wir den nichtlinearen Ausgleich. Das Verfahren hierzu ist das Gauss-Newton-Verfahren. Wir benutzen zur Lösung des linearisierten Problems sowohl die Normalgleichungen (Cholesky!) als auch orthogonale Transformationen.
Wir unterscheiden wieder zwei Ansätze:
  1. explizit: y(t)=f(x; t) mit Messwerten (ti, fi)
  2. implizit: F(x; y)=0 mit Messwerten yi
Hat man die Messwerte eingesetzt, so hat man in beiden Fällen ein nicht lineares Ausgleichsproblem ||F(x)||2 → min. Für kleine Beispiele kann man das machen und dann für die Linearisierung   (||F(xn)+F'(xn)Δxn||2 &rarr min)   F(x) ableiten. Eigentlich braucht man aber nur eine Zeile, d.h. die Ableitung von f(x; t) bzw. F(x; y) nach x, abzuleiten und auch nur dafür die Linearisierung hinzuschreiben. Das komplette System bildet man dann per Schleife über die Messwerte.

Übersicht
lineare Gleichungssystem, nicht lineare Gleichungssystem, linearer Ausgleich, nicht linearer Ausgleich
  linear → nicht linear Verfahren
Gleichung A x=b ⇔ A x-b=0 → f(x)=0 f(xn)+f'(xn)Δxn=0
f'(xn)Δxn=-f(xn)
↓ ↓   ↓  
Ausgleich ||A x-b||2 → min → ||F(x)||2 → min ||F(xn)+F'(xn)Δxn||2 → min
||F'(xn)Δxn-(-F(xn))||2 → min


Vorgerechnet werden die Aufgaben Selbststudium - eine typische Klausuraufgabe zum Fixpunktverfahren Hausaufgaben (vorbereiten zum Vorrechnen) sind die Aufgaben


Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 26. Juni 2009