Numerik I für Maschinenbauer - SS 2010
In der 5. Woche behandeln wir weiter die Lösung von Gleichungssytemen und die LR-Zerlegung.
Dabei werden wir insbesondere den Einfluss von Pivotisierung und Skalierung (Zeilenäquilibrierung) untersuchen.
Hierbei geht es im Wesentlichen um den Einfluss auf die Stabilität.
Dann gehen wir auf den Spezialfall symmetrisch positiv
definiter Matrizen ein. Die Cholesky oder L-D-LT Zerlegung ist nur
halb so teuer wie L-R.
Zur Vorbereitung des Übergangs Gauß → L-D-LT habe ich noch
den verketteten Gauß-Algorithmus (Gauß-Doolittle/Banachiewicz) und daraus hergeleitet
die L-D-LT Zerlegung aufgeschrieben. Ziel ist es, dieses Schema so zu verstehen,
dass man die (Summen-)Formeln nicht mehr braucht und die Zerlegung ohne Formelvorlage beherrscht.
Von den hier zu findenden Verfahren sollte also
zumindest die L-D-LT-Zerlegung beherrscht werden.
Vorgerechnet werden die Aufgaben
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die Verständnisfragen
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Aufgabe 3.4 Zeigt das Ziel der Pivotisierung auf (vgl. p32-p34)
ACHTUNG! In der Praxis speichert man keine Permutationsmatrizen sondern den Pivotvektor (Permutationsvektor).
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Aufgabe 3.5 Zeigt: Das reicht aber noch nicht;
erst die Skalierung bringt die "wahren Größen" an die richige Stelle.
Mit der reduzierten Stellenzahl untersuchen wir im Prinzip die Stabilität.
Es ist eine recht aufwendige Handrechnung, aber nur so können wir den Einfluss der Skalierung erkunden.
Es muss nach jeder Operation gerundet werden.
L und R sowie in b) auch den Pivotvektor geben wir explizit an!
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Aufgabe 3.18 wir lösen auch ein Gleichungssystem und berechnen die Determinante!
Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben
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Verständnisfragen
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Aufgabe 3.3
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Aufgabe 3.17 Zur Errinnerung: spd wird gem. Bem. 3.37 p59 getestet.
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Aufgabe 3.19
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Aufgabe 3.25 ACHTUNG: mit Skalierung/Äquilibrierung,
Pivotisierung sowie Determinantenberechnung
Letzte Bearbeitung: 14. Mai 2010