Numerik I für Maschinenbauer - SS 2010
In der 7. Woche starten wir mit dem linearen Ausgleich.
Wir betrachten auch die Kondition der Matrizen bei den einzelnen Lösungswegen.
Die Beschreibungen im Folgenden beinhalten auch bereits den Lösungsweg über
orthogonale Transformationen. Dies werden wir in den Übungen konkret aber erst
nächste Woche behandeln.
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Normalgleichungen: ATA*x=ATb
(Werden in der Praxis immer (Aufwand halb so groß wie Gauß!)
mittels L-D-LT-Zerlegung gelöst.)
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||A*x-b||2-->min mittels orthogonaler Transformationen (Givens und Householder -
kommt nächste Woche)
Das sind also zwei Lösungswege, wobei wir im 2. Fall noch zwei Verfahren haben.
Die orthogonalen Transformationen sind i.a. wesentlich besser konditioniert
(κ(A)) als die Normalgleichungen (κ(A)2).
Dafür ist der Rechenaufwand für m>n etwas größer.
Bei den Normalgleichungen ist der größte Aufwand die Berechnung von ATA (m*n2/2).
Das Lösen des LGS kostet nur n3/6. Householder: m*n2-n3/3 (Givens ist doppelt so teuer.)
Für m=n haben wir also für beide Lösungswege den Aufwand 2/3*n3. Hingegen ist für m>>n der
Aufwand m*n2 gegenüber m*n2/2.
Es gibt die Typen explizit y=f(x) und implizit F(X)=0. Ferner muss/kann man mitunter substituieren.
Den impliziten Fall behandeln wir in der nächsten Woche.
Vorgerechnet werden die Aufgaben
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Aufgabe 4.6 (Vorerst nur die Normalgleichungen)
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Aufgabe 4.9 (Vorerst nur die Normalgleichungen)
Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben
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Verständnisfragen
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Aufgabe 4.7 (Vorerst nur die Normalgleichungen)
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Aufgabe 4.8 (Vorerst nur die Normalgleichungen)
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Aufgabe 4.19 - mit Normalgleichungen!
Letzte Bearbeitung: 3. Juni 2010