Numerik I für Maschinenbauer - SS 2013

Infos zur aktuellen Woche

Woche 9

In der 9. Woche behandeln wir (nach dem Fixpunktverfahren letzte Woche) die restlichen Verfahren zum Thema nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme. Die Verfahren sind: (vereinfachtes) Newton-, Sekantenverfahren und Bisektion. Wir machen jeweils auch Angaben zur Konvergenzordnung und - falls möglich - Konvergenzgeschwindigkeit sowie der Verallgemeinerbarkeit auf mehrdimensionale Probleme. Das (vereinfachte) Newton- und das Sekantenverfahren kann man (im skalaren Fall) noch wie folgt zusammanfassen:
x_i+1 = x_i - f(x_i)/m_i
wobei

m_i = f'(x_i) - für das Newtonverfahren
m_i = f'(x₀) - für das vereinfachte Newtonverfahren
m_i = (f(x_i) -f(x_i-1))/(x_i-x_i-1) - für das Sekantenverfahren

Bei der Bisektion braucht man die Funktionswerte eigentlich nicht exakt zu berechnen. Es reicht, wenn man bestimmt "<0", ">0" oder "=0". Man kennt daher auch immer (unabhängig von der Funktion) a priori die Anzahl der erforderlichen Schritte, um die Nullstelle auf eine vorgegebene Genauigkeit zu bestimmen. Sie hängt nur von der anfänglichen Intervalllänge ab. Damit ist die Bisektion genau so gut/schlecht wie das Fixpunktverfahren mit Kontraktionszahl 0.5.

Vorgerechnet werden die Aufgaben

Verständnisfragen Vorlage
Aufgabe 5.2 (nur die erste Funktion diese Woche für die restlichen, skalaren Verfahren)
Aufgabe 5.8 (System: Newton- und vereinfachtes Newton-Verfahren)

Selbststudium (typische Klausuraufgaben der letzten Jahre)

Klausur F11 Aufgabe 2 (System: Fixpunktverfahren)
Klausur F10 Aufgabe 3 (System: Newtonverfahren)
Klausuren

Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben

Verständnisfragen
Aufgabe 5.2 (die zweite und dritte Funktion)
Aufgabe 5.7 (System: Newton- und vereinfachtes Newton-Verfahren)
Aufgabe 5.12 (System: Fixpunkt-/Newton-verfahren)
Aufgabe 5.13 (System: Fixpunkt-/Newton-verfahren)

Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 11. Juni 2013