Numerik I für Maschinenbauer - SS 2015

Infos zur aktuellen Woche

Woche 12

In Woche 12 behandeln wir weiterhin die Interpolation mit Polynomen.
Wir betrachten die Darstellungen des Interpolationspolynoms in der Newton-Basis und die Berechnung der Koeffizienten mit Hilfe der dividierten Differenzen, sowie das Neville-Aitken-Schema zur direkten Auswertung des Interpolationspolynoms an einem gegebenen Punkt. Für die Auswertung der Darstellung in der Newton-Basis verwenden wir das Horner-Schema. Um möglichst gute Fehlerabschätzungen für gegebene Auswertungspunkte zu erhalten, versuchen wir die Knoten gegebenenfalls möglichst so zu wählen, dass der Anteil des Knotenpolynoms in der Abschätzung minimiert wird. Die Eigenschaften der verschiedenen Darstellungen werden dabei erneut verglichen. Daher noch einmal komplett:
Für die Lagrange-Basis sind die Koeffizienten unmittelbar gegeben, die Auswertung an einem Punkt erfordert aber O(n²) Operationen. Da die Auswertung in dieser Darstellung auch anfällig bezüglich Auslöschung ist, ist diese Basis vor allem für theoretische Zwecke interessant.
Die Auswertung in Monomenbasis (Potenzform) erfordert mit dem Horner-Schema nur jeweils n Additionen und Multiplikationen, allerdings muss zur Aufstellung zunächst ein Gleichungssystem mit (in der Regel sehr schlecht konditionierter) Vandermonde-Matrix gelöst werden, was ca. n³/3 Operationen erfordert und die Auswertung kann ebenfalls schlecht konditioniert sein.
Praxisrelevant ist vor allem die Darstellung in Newton-Basis (ca. n²/2 Divisionen und n² Subtraktionen zur Berechnung der Koeffizienten, n Multiplikationen und 2n Additionen / Subtraktionen zur Auswertung). Wichtig ist hier, den grundlegenden Unterschied zur direkten Auswertung über Neville-Aitken (Aufwand ca. n² Multiplikationen/Divisionen für einen gegebenen Auswertungspunkt) zu erkennen!
Ein wichtiger Unterschied zwischen den Darstellungen ist auch: Bei Hinzunahme eines weiteren Punktes muss bei Lagrange-Basis und Potenzform in der Regel alles neu berechnet werden, während in der rekursiven Auswertung des Newton-Schemas nur eine Diagonale hinzukommt.

Vorgerechnet werden die Aufgaben

Verständnisfragen Vorlage
Aufgabe 7.1 (mit anderen Werten) (Newton-Schema)
Aufgabe 7.10 (siehe auch Klausur 2000).
Aufgabe 7.8 (siehe auch Klausur F 2005, Aufgabe 5) - nur Teil a).

Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben

Verständnisfragen.
Aufgabe 7.1 (Newton-Schema)
Aufgabe 7.5 .
Aufgabe 7.8 (siehe auch Klausur F 2005, Aufgabe 5) - Teil b).
Aufgabe 7.11 (siehe auch Klausur H 2004, Aufgabe 4).

Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 30. Juni 2015