Numerik I für Maschinenbauer - SS 2011

Herr Reusken hat in der Vorlesung das Kapitel 5 fast abgeschlossen.

In der 10. Woche behandeln wir (nach dem Fixpunktverfahren letzte Woche) die restlichen Verfahren zum Thema nicht-lineare Gleichungen und Gleichungssysteme. Die Verfahren sind: (vereinfachtes) Newton-, Sekantenverfahren und Bisektion. (Wichtig: Bisektion --> binary search (s.u.))
Wir machen jeweils auch Angaben zur Konvergenzordnung und - falls möglich - Konvergenzgeschwindigkeit sowie der (Un-)Möglichkeit der Erweiterung auf's Mehrdimensionale.
Das Sekantenverfahren verliert im Laufe der Iteration immer wieder den Einschluss. Das kann dazu führen, dass es nicht konvergiert. Wählt man die Stellen für den nächsten Schritt so, dass der Einschluss erhalten bleibt (vgl. Bisektion), so erhält man die Regula Falsi. Diese hat zwar nicht den obigen Nachteil des Sekantenverfahrens, dafür aber nur die Konvergenzordnung 1! (Es gibt Verfahren, die diese Lücke korrigieren.)
Das (vereinfachte) Newton- und das Sekantenverfahren kann man (im skalaren Fall) noch wie folgt zusammanfassen:
xi+1 = xi - f(xi)/mi
Dabei ist Bei der Bisektion braucht man die Funktionswerte eigentlich nicht exakt zu berechnen. Es reicht, wenn man bestimmt "<0", ">0" oder "=0". Man kennt daher auch immer (unabhängig von der Funktion) a-priori die Anzahl der erforderlichen Schritte, um die Nullstelle auf eine vorgegebene Genauigkeit zu bestimmen. Sie hängt nur von der anfänglichen Intervalllänge ab. Damit ist die Bisektion genau so gut/schlecht wie das Fixpunktverfahren mit Kontraktionszahl 0.5.
Vorgerechnet werden die Aufgaben Selbststudium (typische Klausuraufgaben der letzten Jahre) Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben


Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 31. Mai 2011