Numerik I für Maschinenbauer - SS 2012
Herr Dahmen hat in der Vorlesung Folgendes behandelt: Ausgleichsprobleme:
Problemstellung, Kondition, Lösung über Normalengleichungen und Q-R.
In der 8. Woche starten wir mit dem linearen Ausgleich.
Wir betrachten auch die Kondition der Matrizen bei den einzelnen Lösungswegen:
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Normalgleichungen: ATA*x=ATb
(Werden in der Praxis immer (Aufwand halb so groß wie Gauß!) mittels L-D-LT-Zerlegung gelöst.)
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||A*x-b||2-->min mittels orthogonaler Transformationen (Givens und Householder)
Das sind also zwei Lösungswege, wobei wir im 2. Fall noch zwei Verfahren haben.
Die orthogonalen Transformationen sind i.a. wesentlich besser konditioniert
(κ2(A)) als die Normalgleichungen (κ2(A)2).
Dafür ist der Rechenaufwand für m>n etwas größer.
Bei den Normalgleichungen ist der größte Aufwand die Berechnung von ATA (m*n2/2).
Das Lösen des LGS kostet nur n3/6. Householder: m*n2-n3/3 (Givens ist doppelt so teuer.)
Für m=n haben wir also für beide Lösungswege den Aufwand 2/3*n3. Hingegen ist für m>>n der
Aufwand m*n2 gegenüber m*n2/2.
Zusätzlich gibt es bei den Hausaufgaben eine Aufgabe zur Lösung eines linearen Ausgleichsproblems über die Singulärwertzerlegung.
Vorgerechnet werden Aufgaben
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Aufgabe 4.6
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Aufgabe 4.9
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Lösung A4.6 und A4.9 im Householder-Tableau
als PDF
Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben
Letzte Bearbeitung: 22. Mai 2012