Numerik I für Maschinenbauer - SS 2012
In der 10. Woche behandeln wir (nach dem Fixpunktverfahren letzte Woche) die restlichen Verfahren zum Thema nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme. Die Verfahren sind: (vereinfachtes) Newton-, Sekantenverfahren und Bisektion.
Wir machen jeweils auch Angaben zur Konvergenzordnung und - falls möglich - Konvergenzgeschwindigkeit sowie der Verallgemeinerbarkeit auf mehrdimensionale Probleme.
Das (vereinfachte) Newton- und das Sekantenverfahren kann man (im skalaren Fall)
noch wie folgt zusammanfassen:
xi+1 = xi - f(xi)/mi
wobei
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mi = f'(xi)
- für das Newtonverfahren
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mi = f'(x0)
- für das vereinfachte Newtonverfahren
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mi = (f(xi)
-f(xi-1))/(xi-xi-1)
- für das Sekantenverfahren
Bei der Bisektion braucht man die Funktionswerte eigentlich nicht exakt zu berechnen. Es reicht, wenn man bestimmt "<0", ">0" oder "=0". Man kennt daher auch immer (unabhängig von der Funktion) a priori die Anzahl der erforderlichen Schritte, um die Nullstelle auf eine vorgegebene Genauigkeit zu bestimmen. Sie hängt nur von der anfänglichen Intervalllänge ab. Damit ist die Bisektion genau so gut/schlecht wie das Fixpunktverfahren mit Kontraktionszahl 0.5.
Vorgerechnet werden die Aufgaben
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Verständnisfragen Vorlage
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Aufgabe 5.2 (nur die erste Funktion diese Woche für die restlichen, skalaren Verfahren)
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Aufgabe 5.8 (System: Newton- und vereinfachtes Newton-Verfahren)
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Klausur F08 Aufgabe 3 (System: Fixpunktverfahren)
Selbststudium (typische Klausuraufgaben der letzten Jahre)
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Klausur F11 Aufgabe 2 (System: Fixpunktverfahren)
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Klausur F10 Aufgabe 3 (System: Newtonverfahren)
Klausuren
Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben
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Verständnisfragen
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Aufgabe 5.2 (die zweite und dritte Funktion)
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Aufgabe 5.7 (System: Newton- und vereinfachtes Newton-Verfahren)
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Aufgabe 5.12 (System: Fixpunkt-/Newton-verfahren)
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Aufgabe 5.13 (System: Fixpunkt-/Newton-verfahren)
Karl-Heinz Brakhage
Letzte Bearbeitung: 12. Juni 2012