Numerik I für Maschinenbauer - SS 2013

Infos zur aktuellen Woche

In Woche 11 behandeln wir Interpolation mit Polynomen. Wir betrachten dabei Darstellungen des Interpolationspolynoms in verschiedenen Basen (monomiale Basis, Lagrange-Basis, Newton-Basis) und die numerischen Verfahren zur Berechnung der jeweiligen Koeffizienten bezüglich dieser Basen, sowie das Neville-Aitken-Schema zur direkten Auswertung des Interpolationspolynoms an einem gegebenen Punkt. Für die Auswertung der Darstellung in der monomialen Basis verwenden wir das Horner-Schema, für die Newton-Basis das entsprechende Analogon.

Für die Lagrange-Basis sind die Koeffizienten unmittelbar gegeben, die Auswertung an einem Punkt erfordert aber ca. n2 Operationen. Da die Auswertung in dieser Darstellung auch anfällig bezüglich Auslöschung ist, ist diese Basis vor allem für theoretische Zwecke interessant.
Die Auswertung in Monomenbasis (Potenzform) erfordert mit dem Horner-Schema nur 2n Operationen, allerdings muss zur Aufstellung zunaechst ein Gleichungssystem mit (in der Regel sehr schlecht konditionierter) Vandermonde-Matrix gelöst werden, was n3/3 Operationen erfordert.
Praxisrelevant ist vor allem die Darstellung in Newton-Basis (ca. n2/2 zur Berechnung der Koeffizienten, 3n zur Auswertung).
Bei Hinzunahme eines weiteren Punktes muss bei Lagrange-Basis und Potenzform in der Regel alles neu berechnet werden, während in der rekursiven Auswertung des Newton-Schemas nur eine Diagonale hinzukommt.

Um möglichst gute Fehlerabschätzungen für gegebene Auswertungspunkte zu erhalten, versuchen wir die Knoten gegebenenfalls möglichst so zu wählen, dass der Anteil des Knotenpolynoms in der Abschätzung minimiert wird.

Vorgerechnet werden die Aufgaben Hausaufgaben Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben


Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 25. Juni 2013