Numerik I für Maschinenbauer - SS 2015
Herr Reusken hat in der Vorlesung Folgendes behandelt: QR-Zerlegung über Houshoulder-Transformation und Ausgleichsprobleme:
Problemstellung, Kondition, Lösung über Normalgleichungen.
In der 6. Woche starten wir mit dem linearen Ausgleich.
Wir betrachten auch die Kondition der Matrizen bei den einzelnen Lösungswegen:
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Normalgleichungen: ATA*x=ATb
(Werden in der Praxis immer (Aufwand halb so groß wie Gauß!) mittels L-D-LT-Zerlegung gelöst.)
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||A*x-b||2-->min mittels orthogonaler Transformationen (Givens und Householder) - ab nächster Woche
Das sind also zwei Lösungswege, wobei wir im 2. Fall noch zwei Verfahren haben.
Die orthogonalen Transformationen sind i.a. wesentlich besser konditioniert
(κ2(A)) als die Normalgleichungen (κ2(A)2).
Dafür ist der Rechenaufwand für m>n etwas größer.
Bei den Normalgleichungen ist der größte Aufwand die Berechnung von ATA (m*n2/2).
Das Lösen des LGS kostet nur n3/6. Householder: m*n2-n3/3 (Givens ist doppelt so teuer.)
Für m=n haben wir also für beide Lösungswege den Aufwand 2/3*n3. Hingegen ist für m>>n der
Aufwand m*n2 gegenüber m*n2/2.
Einige Infos und Beispiele zur Vorgehensweise:
Vorgerechnet werden die Aufgaben
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Eine weitere Klausurmusteraufgabe für Verständnisfragen;
die Verständnisfragen Vorlage
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Aufgabe 3.26 (nur mit Householder)
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Aufgabe 3.27 (nur mit Householder) aber für
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| │ | 4 | 5 | │ | | │ | 15 | │ |
A = | │ | 3 | 5 | │ | und b = | │ | -10 | │ |
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Aufgabe 4.6 (nur über Normalgleichung)
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Aufgabe 4.9 (nur über Normalgleichung)
Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben
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Und noch eine weitere Klausurmusteraufgabe für Verständnisfragen
die sonstigen Verständnisfragen
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Aufgabe 3.26 - für x=(3,2,3)T. Wir berechnen auch die elementaren orthogonalen Transformationsmatrizen
(mit Givens und Householder)
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Aufgabe 3.27 (nur mit Householder)
Aufgabe 3.28 (nur mit Householder)
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Aufgabe 4.7 (nur über Normalgleichung )
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Aufgabe 4.8 (nur über Normalgleichung)
Letzte Bearbeitung: 13. Mai 2015