Numerik I für Maschinenbauer - SS 2015

Infos zur aktuellen Woche

Woche 10

In der 10. Woche gehen wir bei den Verständnisfragen noch einmal kurz auf nichtlineare Gleichungen/Gleichungssysteme ein. Weiterhin behandeln wir noch das Sekantenverfahren.
Danach behandeln wir den nichtlinearen Ausgleich.

Das (vereinfachte) Newtonverfahren und das Sekantenverfahren kann man (im skalaren Fall) noch wie folgt zusammanfassen:
x_i+1 = x_i - f(x_i)/m_i
wobei

m_i = f'(x_i) - für das Newtonverfahren
m_i = f'(x₀) - für das vereinfachte Newtonverfahren
m_i = (f(x_i) -f(x_i-1))/(x_i-x_i-1) - für das Sekantenverfahren

Das Verfahren zum nichtlinearen Ausglich ist (diese Woche) das Gauss-Newton-Verfahren. Wir benutzen zur Lösung des linearisierten Problems sowohl die Normalgleichungen (Cholesky) als auch orthogonale Transformationen.
Der Kernpunkt des Newton- und des Gauss-Newton-Verfahrens ist die Taylorentwicklung und die daraus resultierende lineare Approximation von F(x) durch F(x_n)+F'(x_n)(x-x_n).
Beim nichtlinearen Ausgleich unterscheiden wir wieder zwei Ansätze:

explizit: y(t)=f(x; t) mit Messwerten (t_i, f_i)
implizit: F(x; y)=0 mit Messwerten y_i

Übersicht lineare Gleichungssysteme, nichtlineare Gleichungssysteme, linearer Ausgleich, nichtlinearer Ausgleich
	linear	→	nichtlinear	Verfahren
Gleichung	A x=b ⇔ A x-b=0	→	f(x)=0	f(x_n)+f'(x_n)Δx_n=0 f'(x_n)Δx_n=-f(x_n)
↓	↓		↓
Ausgleich	\|\|A x-b\|\|₂ → min	→	\|\|F(x)\|\|₂ → min	\|\|F(x_n)+F'(x_n)Δx_n\|\|₂ → min \|\|F'(x_n)Δx_n-(-F(x_n))\|\|₂ → min

Vorgerechnet werden die Aufgaben

Eine weitere Klausurmusteraufgabe für Verständnisfragen Verständnisfragen Vorlage
Aufgabe 5.2 (nur die erste Funktion und nur Sekantenverfahren)
Aufgabe 6.12 (Normalgleichungen / QR)
Aufgabe 6.6 (QR)

Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben

Verständnisfragen
Aufgabe 5.2 (die zweite und dritte Funktion) - Sekantenverfahren
Aufgabe 6.2
Aufgabe 6.3 (auch mit QR!)
Aufgabe 6.4 (auch mit QR!)
In der Aufgabenstellung steht "... nach der Methode der kleinsten Quadrate ...". Damit sind natürlich die kleinsten Fehlerquadrate gemeint.
Aufgabe 3 der Klausur Frühjahr 2011

Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 16. Juni 2015