Numerik I für Maschinenbauer - SS 2016

Infos zur aktuellen Woche

Woche 9

Herr Reusken hat in der Vorlesung Kapitel 5 abgeschlossen.
In der 9. Woche behandeln wir dementsprechend weitere Verfahren zum Thema nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme, nämlich das (vereinfachte) Newton-, Sekanten- und das Bisektionsverfahren. Wir machen jeweils auch Angaben zur Konvergenzordnung und - falls möglich - Konvergenzgeschwindigkeit.
Bei der Bisektion braucht man die Funktionswerte eigentlich nicht exakt zu berechnen. Es reicht, wenn man bestimmt "<0", ">0" oder "=0". Man kennt daher auch immer (unabhängig von der Funktion) a priori die Anzahl der erforderlichen Schritte, um die Nullstelle auf eine vorgegebene Genauigkeit zu bestimmen. Sie hängt nur von der anfänglichen Intervalllänge ab. Damit ist die Bisektion genau so gut/schlecht wie das Fixpunktverfahren mit Kontraktionszahl 0.5.
Das (vereinfachte) Newtonverfahren und das Sekantenverfahren kann man (im skalaren Fall) noch wie folgt zusammanfassen:
x_i+1 = x_i - f(x_i)/m_i
wobei

m_i = f'(x_i) - für das Newtonverfahren
m_i = f'(x₀) - für das vereinfachte Newtonverfahren
m_i = (f(x_i) -f(x_i-1))/(x_i-x_i-1) - für das Sekantenverfahren

Das Teure beim Newton-Verfahren ist die L-R-Zerlegung (bzw. Gauß) mit 1/3*n³ Operationen. Die Auswertung der Jakobimatrix schlägt "nur" mit n² zu Buche! Beim vereinfachten Newton-Verfahren wird nur einmal die L-R-Zerlegung gemacht. Dann wird mittels Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen ein neues x bestimmt. Diesen Vorteil erkauft man sich aber mit einer schlechteren Konvergenz (Ordnung 1 statt 2). Bei kleinen Dimensionen ist der Unterschied im Aufwand nicht so gravierend. Man beachte aber, dass z.B. für (Dimension) n=1000 mit einer vollbesetzten Jakobimatrix ca. 300 Iterationen mit dem vereinfachten Newton-Verfahren genau so lange brauchen, wie eine mit dem (normalen) Newton-Verfahren!

Vorgerechnet werden die Aufgaben

die Verständnisfragen Vorlage
Aufgabe 5.2 (nur die erste Funktion - Bisektion, Newton- und Sekantenverfahren) Siehe auch: Nullstellen skalarer Gleichungen
Klausur F10, Aufgabe 3 (System: Newtonverfahren - Klausuren )

Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben:

Verständnisfragen
Aufgabe 5.2 (die zweite und dritte Funktion)
Aufgabe 5.12 (System: Fixpunkt- und Newtonverfahren.) Lösung in Klausur F00
Aufgabe 5.13 (System: Fixpunkt- und Newtonverfahren.) Lösung in Klausur H00

Empfohlenes Selbststudium (typische Klausuraufgaben der letzten Jahre)

Klausur F11 Aufgabe 2 (System: Fixpunktverfahren)
Klausur F15 Aufgabe 3 (System: Newtonverfahren)
Klausuren

KHB Letzte Bearbeitung: 14. Juni 2016