Numerik I für Maschinenbauer - SS 2016

Infos zur aktuellen Woche

Woche 11

In Woche 11 behandeln wir bei den Verständnisfragen noch den nichtlinearen Ausgleich und starten mit der Interpolation mit Polynomen.
Bei den Verständnisfragen schauen wir uns die Analyse des Gauß-Newton-Verfahrens und das Levenberg-Marquard-Verfahren an. Dann gehen wir zur polynomialen Interpolation über.
Wir betrachten die Darstellungen des Interpolationspolynoms in den verschiedenen Basen und die Berechnung der Koeffizienten mit Hilfe der dividierten Differenzen, sowie das Neville-Aitken-Schema zur direkten Auswertung des Interpolationspolynoms an einem gegebenen Punkt. Für die Auswertung der Darstellung in der Newton-Basis verwenden wir das Horner-Schema. Um möglichst gute Fehlerabschätzungen für gegebene Auswertungspunkte zu erhalten, versuchen wir die Knoten gegebenenfalls möglichst so zu wählen, dass der Anteil des Knotenpolynoms in der Abschätzung minimiert wird.
Die Eigenschaften der verschiedenen Darstellungen sollen dabei verglichen werden:
Für die Lagrange-Basis sind die Koeffizienten unmittelbar gegeben, die Auswertung an einem Punkt erfordert aber O(n²) Operationen. Da die Auswertung in dieser Darstellung auch anfällig bezüglich Auslöschung ist, ist diese Basis vor allem für theoretische Zwecke interessant. Zudem können damit später die Gewichte der Quadraturformeln berechnet werden,
Die Auswertung in Monomenbasis (Potenzform) erfordert mit dem Horner-Schema nur jeweils n Additionen und Multiplikationen, allerdings muss zur Aufstellung zunächst ein Gleichungssystem mit (in der Regel sehr schlecht konditionierter) Vandermonde-Matrix gelöst werden, was ca. n³/3 Operationen erfordert. Zudem ist die Auswertung sehr oft schlecht konditioniert.
Praxisrelevant ist vor allem die Darstellung in Newton-Basis (ca. n²/2 Divisionen und n² Additionen zur Berechnung der Koeffizienten, n Multiplikationen und 2n Additionen zur Auswertung). Wichtig ist hier, den grundlegenden Unterschied zur direkten Auswertung über Neville-Aitken (Aufwand ca. n² Multiplikationen/Divisionen für einen gegebenen Auswertungspunkt) herauszuarbeiten!
Ein wichtiger Unterschied zwischen den Darstellungen ist auch: Bei Hinzunahme eines weiteren Punktes muss bei Lagrange-Basis und Potenzform in der Regel alles neu berechnet werden, während in der rekursiven Auswertung des Newton-Schemas nur eine Diagonale hinzukommt.
Vorgerechnet werden die Aufgaben

die Verständnisfragen Vorlage
Aufgabe 7.1 (mit anderen Werten)
Aufgabe 7.10 (siehe auch Klausur 2000).
Aufgabe 7.8 (siehe auch Klausur F 2005, Aufgabe 5) - nur Teil a).

Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben

Verständnisfragen
Aufgabe 7.1
Aufgabe 7.5 .
Aufgabe 7.8 (siehe auch Klausur F 2005, Aufgabe 5) - der Rest.
Aufgabe 7.11 (siehe auch Klausur H 2004, Aufgabe 4).

Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 30. Juni 2016