Herr Reusken hat in der Vorlesung die Interpolation
und die Numerische Differentiation abgeschlossen und mit der Quadatur begonnen.
In der 12. Woche behandeln wir daher noch einmal etwas Interpolation
sowie ein Paar Sachen zur Numerische Differentiation und starten dann mit der Quadratur.
Die Interpolation zu der Funktion f(x) =1/x mit Stützstellen
x0=1/2, x1=1 und x2=2 sowie Auswertungen an den Stellen X=3/4
und (Extrapolation) X=5/2, 1/10, 1/100 zeigt noch einmal einige Grenzen auf.
Kritisch ist die große Ableitung im Bereich x<1 und die Extrapolation.
Nach der Idee der Numerischen Differentiation behandeln wir dann als eine Anwendung davon
nochmal das Newtonverfahren für skalare Gleichungen.
Dazu fügen wir der Wahl der mi als weitere
Möglichkeit den zentralen Differenzenquotienten hinzu:
mi = mi(h) = (f(xi+h) - f(xi-h)) / (2h)
Dann wähle man h=10-3, h=10-4 und h=10-5
und vergleiche die so erzielten Resultate mit denen des Newtonverfahrens (und des vereinfachten Newtonverfahrens).
Die numerische Differentiation kann man auch für Systeme verwenden.
Gerechnet werden sollen
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die Verständnisfragen Vorlage
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Die Funktion f(x)=1/x soll polynomial interpoliert werden und zwar zu den Stützstellen
x0=1/2, x1=1 und x2=2.
Berechne das Interpolationspolynom in der Newton-Darstellung und werte es an den Stellen
X=3/4 sowie X=5/2, X=1/10 und X=1/100 aus.
Gib jeweils eine Fehlerabschätzung an, vergleiche mit dem wahren Fehler und erläutere die Ergebnisse.
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Aufgabe 5.1 ( Newton-Verfahren mit Numerischer Differentiation )
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Aufgabe 7.9 ( nur die erste Gleichung )
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Aufgabe 8.1 ( nur die Trapezregel )
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Aufgabe 8.2 ( für ex )
Hausaufgaben (Vorbereitung für den Minitest und die Klausur) sind die Aufgaben
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Verständnisfragen
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Die Funktion f(x)=1/x2 soll polynomial interpoliert werden und zwar zu den Stützstellen
x0=1/2, x1=1 und x2=3/2.
Berechne das Interpolationspolynom in der Newton-Darstellung und werte es an den Stellen
X=5/4 sowie X=2, X=1/10 und X=1/50 aus.
Gib jeweils eine Fehlerabschätzung an, vergleiche mit dem wahren Fehler und erläutere die Ergebnisse.
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Aufgabe 5.2 ( Newton-Verfahren mit Numerischer Differentiation )
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Aufgabe 7.9 ( der Rest )
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Aufgabe 8.1 für die Mittelpunkts- und Simpsonregel.
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Aufgabe 8.2 ( der Rest ).
Karl-Heinz Brakhage
Letzte Bearbeitung: 13. Juli 2017