Numerik I für Maschinenbauer - SS 2019

Infos zur aktuellen Woche

Woche 8

In der 8. Woche behandeln wir zunächst weiter das Fixpunktverfahren (insbesondere bei den Verständnisfragen).
Noch einmal zur Erinnerung: Beim Fixpunktsatz braucht man weder Konvexität noch Differenzierbarkeit. Dies brauchen wir nur für unser für die Kontraktivität hinreichendes (nicht notwendiges) Kriterium ||F'(x)|| <= L <1.
Bei der Bisektion braucht man die Funktionswerte eigentlich nicht exakt zu berechnen. Es reicht, wenn man bestimmt "<0", ">0" oder "=0". Man kennt daher auch immer (unabhängig von der Funktion) a priori die Anzahl der erforderlichen Schritte, um die Nullstelle auf eine vorgegebene Genauigkeit zu bestimmen. Sie hängt nur von der anfänglichen Intervalllänge ab. Damit ist die Bisektion genau so gut/schlecht wie das Fixpunktverfahren mit Kontraktionszahl 0.5.
Das (vereinfachte) Newtonverfahren und das Sekantenverfahren kann man (im skalaren Fall) noch wie folgt zusammanfassen:
x_i+1 = x_i - f(x_i)/m_i
wobei

m_i = f'(x_i) - für das Newtonverfahren
m_i = f'(x₀) - für das vereinfachte Newtonverfahren
m_i = (f(x_i) -f(x_i-1))/(x_i-x_i-1) - für das Sekantenverfahren

Gerechnet werden

die Verständnisfragen Vorlage
Aufgabe 5.2 (nur die erste Funktion)
Aufgabe 5.4 (das Newton-Verfahren ist nicht immer quadratisch konvergent!)
Klausur F10, Aufgabe 3 (System: Newtonverfahren): Skizze mit Startwerten anfertigen (man sollte Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln, ... kennen). Berechnung kommt nächste Woche. Oft sind Schritte ohne Taschenrechner durchführbar.
Klausuren

Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben

Verständnisfragen
Aufgabe 5.2 (die zweite und dritte Funktion)
analog zu Aufgabe 5.4 mit f(x)=(x+2) (x-e)² sowie den Startwerten -3, -1, 1 und 5. Begründe die Ergebnisse (Konvergenzordnung und Iterationsverlauf/Monotonie, Skizze).
Aufgabe 5.13

NuMaMB Letzte Bearbeitung: 24.05.2019