Numerik I für Maschinenbauer - SS 2019

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Woche 9

In der Vorlesung ist Kapitel 5 abgeschlossen worden.
In der 9. Woche behandeln wir dementsprechend weitere Verfahren zum Thema nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme, insbesondere das Newton-Verfahren und seine Varianten. Wir machen jeweils auch Angaben zur Konvergenzordnung und - falls möglich - Konvergenz-geschwindigkeit und -verhalten.
Das Teure beim Newton-Verfahren ist die L-R-Zerlegung (bzw. Gauß) mit 1/3*n³ Operationen. Die Auswertung der Jakobimatrix schlägt "nur" mit n² zu Buche! Beim vereinfachten Newton-Verfahren wird nur einmal die L-R-Zerlegung (mit Skalierung und Pivotisierung) gemacht. Dann wird mittels Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen ein neues x bestimmt. Diesen Vorteil erkauft man sich aber mit einer schlechteren Konvergenz (Ordnung 1 statt 2). Bei kleinen Dimensionen ist der Unterschied im Aufwand nicht so gravierend. Man beachte aber, dass z.B. für (Dimension) n=1000 mit einer vollbesetzten Jakobimatrix ca. 300 Iterationen mit dem vereinfachten Newton-Verfahren genau so lange brauchen, wie eine mit dem (normalen) Newton-Verfahren!
Insbesondere bei nicht so guten Startwerten neigt das Newton-Verfahren zum Überschießen. Diesem Verhalten versucht man durch Dämpfungsstrategien entgegenzuwirken: x^k+1=x^k+λ^ks^k mit 0<λ^k≤1. Ziel ist es, den Einzugsbereich des Verfahrens zu erweitern. Man beachte aber, dass, wählt man immer λ^k<1, die quadratische Konvergenz verloren geht. Eine sehr einfache Strategie ist, λ^k so lange zu halbieren, bis || f(x^k+1) || < || f(x^k) ||

Gerechnet werden die Aufgaben

die Verständnisfragen Vorlage
Klausur F10, Aufgabe 3 (System: Newtonverfahren): Der Rest von letzter Woche
Wir untersuchen das Konvergenzverhalten des Newton-Verfahrens für
f₁(x)=10*exp(-x²/20)-x/5 - 0.5 und f₂(x)=10*exp(-x²/20)-x/5.
Dazu nehmen wir bei f₁ die Startwerte x₀=0.5, 1 und 12 sowie bei f₂ x₀=0.6 und 0.7 . Erkläre das Iterationsverhalten. Hilft ggf. eine Dämpfungsstrategie?
Klausur F16, Aufgabe 3

Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben:

Verständnisfragen
Aufgabe 5.13 (der Rest von letzter Woche)
Wir untersuchen weiter das Konvergenzverhalten des Newton-Verfahrens für
f₁(x)=10*exp(-x²/20)-x/5 - 0.5 und f₂(x)=10*exp(-x²/20)-x/5.
Dazu nehmen wir jetzt bei f₁ die Startwerte x₀=0, 0.8, 1.5 und 10 sowie bei f₂ x₀=0.5 und 2, 7.5, 10 und 12 . Erkläre auch hier das Iterationsverhalten. Hilft ggf. eine Dämpfungsstrategie?
Weitere typische Klausur(rechen)aufgaben.
Klausur F11 Aufgabe 2 (System: Fixpunktverfahren)
Klausur F15 Aufgabe 3 (System: Newtonverfahren)
Klausuren

NuMaMB Letzte Bearbeitung: 29. Mai 2019