Numerik I für Maschinenbauer - SS 2019

Infos zur aktuellen Woche

Woche 12

Herr Reusken hat in der Vorlesung die Interpolation und die Numerische Differentiation abgeschlossen und mit der Quadatur begonnen.
In der 12. Woche behandeln wir daher noch einmal etwas Interpolation sowie ein Paar Sachen zur Numerische Differentiation und starten dann mit der Quadratur.

Die Interpolation zu der Funktion f(x) =1/x mit Stützstellen x₀=1/2, x₁=1 und x₂=2 sowie Auswertungen an den Stellen X=3/4 und (Extrapolation) X=5/2, 1/10, 1/100 zeigt noch einmal einige Grenzen auf. Kritisch ist die große Ableitung im Bereich x<1 und die Extrapolation.
Nach der Idee der Numerischen Differentiation behandeln wir dann als eine Anwendung davon noch einmal das Newtonverfahren für skalare Gleichungen. Dazu fügen wir der Wahl der m_i als weitere Möglichkeit dieses Mal den vorwärtigen Differenzenquotienten hinzu:
m_i = m_i(h) = (f(x_i+h) - f(x_i)) / h
Dann wähle man h=10^-4, h=10^-5 und h=10^-6 und vergleiche die so erzielten Resultate mit denen des Newtonverfahrens (und des vereinfachten Newtonverfahrens). Die numerische Differentiation kann man auch für Systeme verwenden.
Gerechnet werden sollen

die Verständnisfragen Vorlage
Die Funktion f(x)=1/x soll polynomial interpoliert werden und zwar zu den Stützstellen x₀=1/2, x₁=1 und x₂=2. Berechne das Interpolationspolynom in der Newton-Darstellung und werte es an den Stellen X=3/4 sowie X=5/2, X=1/10 und X=1/100 aus. Gib jeweils eine Fehlerabschätzung an, vergleiche mit dem wahren Fehler und erläutere die Ergebnisse.
Aufgabe 5.2 ( Newton-Verfahren mit Numerischer Differentiation )
Aufgabe 7.9 ( nur die erste Gleichung )
Aufgabe 8.1 ( nur die Trapezregel )
Aufgabe 8.2 ( für e^x )

Hausaufgaben (Vorbereitung für den Minitest und die Klausur) sind die Aufgaben

Verständnisfragen
Die Funktion f(x)=1/x² soll polynomial interpoliert werden und zwar zu den Stützstellen x₀=1/2, x₁=1 und x₂=3/2. Berechne das Interpolationspolynom in der Newton-Darstellung und werte es an den Stellen X=5/4 sowie X=2, X=1/10 und X=1/50 aus. Gib jeweils eine Fehlerabschätzung an, vergleiche mit dem wahren Fehler und erläutere die Ergebnisse.
Aufgabe 5.2 ( Newton-Verfahren mit Numerischer Differentiation )
Aufgabe 7.9 ( der Rest )
Aufgabe 8.1 für die Mittelpunkts- und Simpsonregel.
Aufgabe 8.2 ( der Rest ).

NuMaMB Letzte Bearbeitung: 28. Juni 2019