Numerik I für Maschinenbauer - SS 2010

In der 9. Woche behandeln wir nicht-lineare Gleichungen und Gleichungssysteme. (Wichtig: Bisektion --> binary search (s.u.))
Wichtig ist auch die Kenntnis über Konvergenzordnung und Konvergenzgeschwindigkeit sowie der (Un-)Möglichkeit der Erweiterung auf's Mehrdimensionale.
Das Sekantenverfahren verliert im Laufe der Iteration immer wieder den Einschluss. Das kann dazu führen, dass es nicht konvergiert. Wählt man die Stellen für den nächsten Schritt so, dass der Einschluss erhalten bleibt (vgl. Bisektion), so erhält man die Regula Falsi. Diese hat dann nicht den obigen Nachteil des Sekantenverfahrens, dafür aber nur die Konvergenzordnung 1!
Achtung: Beim Fixpunktsatz braucht man weder Konvexität noch Differenzierbarkeit. Dies brauchen wir nur für unser für die Kontraktivität hinreichendes (nicht notwendiges) Kriterium ||F'(x)|| <= L < 1.
Das (vereinfachte) Newton- und das Sekantenverfahren kann man (im skalaren Fall) noch wie folgt zusammanfassen:
xi+1 = xi - f(xi)/mi
Dabei ist Bei der Bisektion braucht man die Funktionswerte eigentlich nicht exakt zu berechnen. Es reicht, wenn man bestimmt "<0", ">0" oder "=0". Man kennt daher auch immer (unabhängig von der Funktion) a-priori die Anzahl der erforderlichen Schritte, um die Nullstelle auf eine vorgegebene Genauigkeit zu bestimmen. Sie hängt nur von der anfänglichen Intervalllänge ab. Damit ist die Bisektion genau so gut/schlecht wie das Fixpunktverfahren mit Kontraktionszahl 0.5.
Vorgerechnet werden die Aufgaben Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben


Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 18. Juni 2010