Numerik I für Maschinenbauer - SS 2010

In der 10. Woche behandeln wir zunächst weiter nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme. Wir nehmen nun auch im Mehrdimensionalen das Newton- und das vereinfachte Newtonverfahren hinzu.
Achtung: Bei den Klausuren wird häufig f'(xk) Δxk = f(xk) und dann xk+1=xk-Δ xk benutzt. Dies ist äquivalent zu f'(xk) Δxk = -f(xk) und dann xk+1=xk+Δ xk .
Dann behandeln wir den nichtlinearen Ausgleich. Das Verfahren hierzu ist das Gauss-Newton-Verfahren. Wir benutzen zur Lösung des linearisierten Problems sowohl die Normalgleichungen (Cholesky) als auch orthogonale Transformationen.
Der Kernpunkt des Newton- und des Gauss-Newton-Verfahrens ist die Taylorentwicklung und die daraus resultierende Approximation erster Ordnung (hier (HTML) ≈ statt . über = wie in Kapitel 2) F(x) ≈ F(xn)+F'(xn)(x-xn). Setzen wir dies zu Null und nennen dann das x xn, so erhalten wir mit Δxn = xn+1-xn das Newton Verfahren bzw. beim Ausgleich das Gauss-Newton-Verfahren.
Beim nichtlinearen Ausgleich unterscheiden wir wieder zwei Ansätze:
  1. explizit: y(t)=f(x; t) mit Messwerten (ti, fi)
  2. implizit: F(x; y)=0 mit Messwerten yi
Hat man die Messwerte eingesetzt, so hat man in beiden Fällen ein nichtlineares Ausgleichsproblem ||F(x)||2 → min. Für kleine Beispiele kann man das machen und dann für die Linearisierung   (||F(xn)+F'(xn)Δxn||2 → min)   F(x) ableiten. Eigentlich braucht man aber nur eine Zeile, d.h. die Ableitung von f(x; t) bzw. F(x; y) nach x, abzuleiten und auch nur dafür die Linearisierung hinzuschreiben. Das komplette System bildet man dann per Schleife über die Messwerte.
Übersicht
lineare Gleichungssystem, nicht lineare Gleichungssystem, linearer Ausgleich, nicht linearer Ausgleich
  linear → nicht linear Verfahren
Gleichung A x=b ⇔ A x-b=0 → f(x)=0 f(xn)+f'(xn)Δxn=0
f'(xn)Δxn=-f(xn)
↓ ↓   ↓  
Ausgleich ||A x-b||2 → min → ||F(x)||2 → min ||F(xn)+F'(xn)Δxn||2 → min
||F'(xn)Δxn-(-F(xn))||2 → min


Vorgerechnet werden die Aufgaben Selbststudium Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben


Karl-Heinz Brakhage Letzte Bearbeitung: 23. Juni 2010