W06

Numerik I für Maschinenbauer - SS 2016

Herr Reusken hat in der Vorlesung Folgendes behandelt: QR-Zerlegung über Houshoulder-Transformation und Ausgleichsprobleme: Problemstellung sowie Lösung über Normalgleichungen.

In der 6. Woche starten wir mit dem linearen Ausgleich. Wir betrachten auch die Kondition der Matrizen bei den einzelnen Lösungswegen:

Normalgleichungen: A^TA*x=A^Tb (Werden in der Praxis immer (Aufwand halb so groß wie Gauß!) mittels L-D-L^T-Zerlegung gelöst.)
||A*x-b||₂-->min mittels orthogonaler Transformationen (Givens und Householder) - ab nächster Woche

Das sind also zwei Lösungswege, wobei wir im 2. Fall noch zwei Verfahren haben. Die orthogonalen Transformationen sind i.a. wesentlich besser konditioniert (κ₂(A)) als die Normalgleichungen (κ₂(A)²). Dafür ist der Rechenaufwand für m>n etwas größer. Bei den Normalgleichungen ist der größte Aufwand die Berechnung von A^TA (m*n²/2). Das Lösen des LGS kostet nur n³/6. Householder: m*n²-n³/3 (Givens ist doppelt so teuer.) Für m=n haben wir also für beide Lösungswege den Aufwand 2/3*n³. Hingegen ist für m>>n der Aufwand m*n² gegenüber m*n²/2.

Einige Infos und Beispiele zur Vorgehensweise:

Infos zu Q-R : Givens, Housholder, Gleichungssysteme und Ausgleich.
Infos zu : Durchführung Housholder .

Vorgerechnet werden die Aufgaben

Eine weitere Klausurmusteraufgabe für Verständnisfragen; die Verständnisfragen Vorlage
Aufgabe 3.26 (nur mit Householder)

Aufgabe 3.27 (nur mit Householder) aber für

	╭			╮		╭		╮
	│	4	5	│		│	15	│
A =	│	3	5	│	und b =	│	-10	│
	╰			╯		╰		╯

Aufgabe 4.6 (nur über Normalgleichung)
Aufgabe 4.9 (nur über Normalgleichung)

Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben

Und noch eine weitere Klausurmusteraufgabe für Verständnisfragen die sonstigen Verständnisfragen
Aufgabe 3.26 - für x=(3,2,3)^T. Wir berechnen auch die elementaren orthogonalen Transformationsmatrizen (mit Givens und Householder)
Aufgabe 3.27 (nur mit Householder)

Aufgabe 3.28 (nur mit Householder)

Aufgabe 4.7 (nur über Normalgleichung )
Aufgabe 4.8 (nur über Normalgleichung)

Letzte Bearbeitung: 24. Mai 2016