In der 8. Woche behandeln wir das Fixpunktverfahren auch rechnerisch.
Wir machen jeweils auch Angaben zur Konvergenzordnung und - falls möglich - zur Konvergenzgeschwindigkeit.
Noch einmal zur Erinnerung:
Beim Fixpunktsatz braucht man weder Konvexität noch Differenzierbarkeit.
Dies brauchen wir nur für unser für die Kontraktivität hinreichendes
(nicht notwendiges) Kriterium ||F'(x)|| <= L <1.
Bei der Bisektion braucht man die Funktionswerte eigentlich nicht exakt zu berechnen.
Es reicht, wenn man bestimmt "<0", ">0" oder "=0".
Man kennt daher auch immer (unabhängig von der Funktion) a priori die Anzahl der erforderlichen Schritte,
um die Nullstelle auf eine vorgegebene Genauigkeit zu bestimmen.
Sie hängt nur von der anfänglichen Intervalllänge ab.
Damit ist die Bisektion genau so gut/schlecht wie das Fixpunktverfahren mit Kontraktionszahl 0.5.
Das (vereinfachte) Newtonverfahren und das Sekantenverfahren kann man (im skalaren Fall)
noch wie folgt zusammanfassen:
xi+1 = xi - f(xi)/mi
wobei
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mi = f'(xi)
- für das Newtonverfahren
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mi = f'(x0)
- für das vereinfachte Newtonverfahren
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mi = (f(xi)
-f(xi-1))/(xi-xi-1)
- für das Sekantenverfahren
Gerechnet werden
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die Verständnisfragen
Vorlage
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Aufgabe 5.9
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Aufgabe 5.5 (nur die erste Funktion)
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Aufgabe 5.2 (nur die erste Funktion)
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Klausur H14 Aufgabe 3 (System: Fixpunktverfahren)
Klausuren
Hausaufgaben (Vorbereitung für Minitests und Klausur) sind die Aufgaben
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Verständnisfragen
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Aufgabe 5.11 (wie erhält man die angegebenen Iterationsvorschriften?)
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Aufgabe 5.5 (die zweite Funktion)
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Aufgabe 5.2 (die zweite und dritte Funktion)
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Klausur H16 Aufgabe 3 (System: Fixpunktverfahren)
Klausuren
Karl-Heinz Brakhage
Letzte Bearbeitung: 15.06.2017