Geometrische Mechanik

Heinz Hanßmann

Sommer	Zeit	Ort
Vorlesung	Freitag 14:30 - 16:00	Seminarraum 224.3
Übung	Freitag 16:15 - 17:00	Seminarraum 224.3

5 ECTS

Beginn: 12. April 2022

Beschreibung

Hamiltonsche Systeme treten natürlicherweise in der reibungslosen Mechanik auf und stellen sich in zwei wichtigen Punkten als besonders nützlich heraus. Zum einen können die in den meisten ``klassischen'' Systemen auftretenden Symmetrien sehr effizient zur Vereinfachung des Problems herangezogen werden. Zum anderen finden sich ``in der Nähe'' von komplizierten Systemen häufig einfachere Systeme, die vollständig beschrieben werden können. Hierdurch kann man mittels der Störungstheorie auch Aussagen über das ursprüngliche Problem treffen.

Wir studieren integrierbare Systeme aus einem geometrischen Blickwinkel, mit Konzepten, welche auch bei kleinen Störungen hilfreich sind. Ein zentrales Resultat ist die Existenz von Winkelwirkungsvariablen: Diese vereinfachen nicht nur das System selbst, sondern machen kleine Störungen sowohl quantitativen als auch qualitativen Untersuchungen zugänglich. Beispiele in diesem Modul sind Systeme mit 3 Freiheitsgraden wie Kreisel und gekoppelte Oszillatoren sowie das reduzierte Dreikörperproblem.

Einige weitere Stichworte

Integrable Systeme, Normalformen, KAM-Theorie und, falls Zeit bleibt, Arnol'd-Diffusion.

Für: Studierende der Mathematik, Physik, ... , ab 6. Semester.

Voraussetzungen

Grundlagen der gewöhnlichen Differentialgleichungen
Mannigfaltigkeiten (ein wenig: `Tangentialraum')
Eine Einführung in Dynamische Systeme

Literatur

R. Abraham and J.E. Marsden

Foundations of Mechanics (2nd ed.)

Benjamin (1978)

V.I. Arnold

Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.)

GTM 60, Springer (1989)

V.I. Arnold, V.V. Kozlov and A.I. Neishtadt

Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics

in Dynamical Systems III

Springer (1988)

H.W. Broer, G.B. Huitema and M.B. Sevryuk

Quasi-Periodic Motions in Families of Dynamical Systems

Order amidst Chaos

LNM 1645, Springer (1996)

R.H. Cushman and L.M. Bates

Global Aspects of Classical Integrable Systems

Birkhäuser (1997)

K. Efstathiou

Metamorphoses of Hamiltonian systems with symmetries

LNM 1864, Springer (2005)

G. Gallavotti

The elements of mechanics

Springer (1983)

V. Guillemin and S. Sternberg

Symplectic techniques in physics

Cambridge University Press (1984)

H. Hanßmann

Local and Semi-Local Bifurcations in Hamiltonian Dynamical Systems

Results and Examples

LNM 1893, Springer (2007)

P. Liberman and C.-M. Marle

Symplectic geometry and analytical mechanics

D. Reidel (1987)

A.J. Lichtenberg and M.A. Lieberman

Regular and stochastic motion/chaotic dynamics

Springer (1983/1992)

J.E. Marsden

Lectures on mechanics

LMS Lecture Notes Series 174, Cambridge University Press (1992)

J.E. Marsden and T.S. Ratiu

Introduction to Mechanics and Symmetry

Springer (1994)

K.R. Meyer and G.R. Hall

Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the $N$-Body Problem

Applied Mathematical Sciences 90, Springer (1992)

J. Montaldi and T. Ratiu

Geometric Mechanics and Symmetry: the Peyresq Lectures

LMS Lecture Notes Series 306, Cambridge University Press (2005)

Jesús Palacián, Flora Sayas and Patricia Yanguas

Regular and Singular Reductions in the Spatial Three-Body Problem

Qualitative Theory of Dynamical Systems 12 (2013) 143-182

Jesús Palacián, Flora Sayas and Patricia Yanguas

Flow reconstruction and invariant tori in the spatial three-body problem

Journal of Differential Equations 258 (2015) 2114-2159

W. Thirring

Klassische Dynamische Systeme

Springer (1977)

Inhalt

Bei noch zu ändernden Daten steht schonmal, was in etwa behandelt werden wird.

Freitag 12. April. Einführung, N-Körperproblem. Aufgaben (pdf, ps).

Freitag 19. April. Kotangentialbündel, Differentialformen. Aufgaben (pdf, ps).

Freitag 26. April. Symplektische Formen und Mannigfaltigkeiten, Lieklammer. Aufgaben (pdf, ps).

Freitag 5. Mai. Der Lagrangesche Kreisel. Linke und rechte S^1-Wirkung.

Freitag 12. Mai. Reduktion des Lagrangeschen Kreisels, Phasenporträts in einem Freihetsgrad.

Freitag 19. Mai. Rekonstruktion der Dynamik des Lagrangeschen Kreisels, gyroskopische Stabilisierung.

Freitag 1. Juni. Liegruppen, Impulsabbildung.

Freitag 8. Juni. Reguläre Symmetriereduktion, reduziertes System.

Freitag 15. Juni. Geodätischer Fluß, freier starrer Körper.

Freitag 22. Juni. Dynamik des freien starren Körpers.

Freitag 29. Juni. Integrierbare Systeme, Winkelwirkungsvariablen.

Freitag 6. Juli. Andoyervariablen, invariante Tori.

Freitag 13. Juli. Invariante Tori im räumlichen 3-Körperproblem.