Geometrische Mechanik

Heinz Hanßmann





Sommer Zeit Ort
Vorlesung Freitag 14:30 - 16:00 Seminarraum 224.3
Übung Freitag 16:15 - 17:00 Seminarraum 224.3

5 ECTS


Beginn: 12. April 2022


Beschreibung

Hamiltonsche Systeme treten nat├╝rlicherweise in der reibungslosen Mechanik auf und stellen sich in zwei wichtigen Punkten als besonders nützlich heraus. Zum einen können die in den meisten ``klassischen'' Systemen auftretenden Symmetrien sehr effizient zur Vereinfachung des Problems herangezogen werden. Zum anderen finden sich ``in der Nähe'' von komplizierten Systemen häufig einfachere Systeme, die vollständig beschrieben werden können. Hierdurch kann man mittels der Störungstheorie auch Aussagen über das ursprüngliche Problem treffen.

Wir studieren integrierbare Systeme aus einem geometrischen Blickwinkel, mit Konzepten, welche auch bei kleinen Störungen hilfreich sind. Ein zentrales Resultat ist die Existenz von Winkelwirkungsvariablen: Diese vereinfachen nicht nur das System selbst, sondern machen kleine Störungen sowohl quantitativen als auch qualitativen Untersuchungen zugänglich. Beispiele in diesem Modul sind Systeme mit 3 Freiheitsgraden wie Kreisel und gekoppelte Oszillatoren sowie das reduzierte Dreikörperproblem.

Einige weitere Stichworte

Integrable Systeme, Normalformen, KAM-Theorie und, falls Zeit bleibt, Arnol'd-Diffusion.



Für: Studierende der Mathematik, Physik, ... , ab 6. Semester.



Voraussetzungen

Grundlagen der gewöhnlichen Differentialgleichungen
Mannigfaltigkeiten (ein wenig: `Tangentialraum')
Eine Einführung in Dynamische Systeme




Literatur

R. Abraham and J.E. Marsden
Foundations of Mechanics (2nd ed.)
Benjamin (1978)

V.I. Arnold
Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.)
GTM 60, Springer (1989)

V.I. Arnold, V.V. Kozlov and A.I. Neishtadt
Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics
in Dynamical Systems III
Springer (1988)

H.W. Broer, G.B. Huitema and M.B. Sevryuk
Quasi-Periodic Motions in Families of Dynamical Systems
Order amidst Chaos
LNM 1645, Springer (1996)

R.H. Cushman and L.M. Bates
Global Aspects of Classical Integrable Systems
Birkhäuser (1997)

K. Efstathiou
Metamorphoses of Hamiltonian systems with symmetries
LNM 1864, Springer (2005)

G. Gallavotti
The elements of mechanics
Springer (1983)

V. Guillemin and S. Sternberg
Symplectic techniques in physics
Cambridge University Press (1984)

H. Hanßmann
Local and Semi-Local Bifurcations in Hamiltonian Dynamical Systems
Results and Examples
LNM 1893, Springer (2007)

P. Liberman and C.-M. Marle
Symplectic geometry and analytical mechanics
D. Reidel (1987)

A.J. Lichtenberg and M.A. Lieberman
Regular and stochastic motion/chaotic dynamics
Springer (1983/1992)

J.E. Marsden
Lectures on mechanics
LMS Lecture Notes Series 174, Cambridge University Press (1992)

J.E. Marsden and T.S. Ratiu
Introduction to Mechanics and Symmetry
Springer (1994)

K.R. Meyer and G.R. Hall
Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the $N$-Body Problem
Applied Mathematical Sciences 90, Springer (1992)

J. Montaldi and T. Ratiu
Geometric Mechanics and Symmetry: the Peyresq Lectures
LMS Lecture Notes Series 306, Cambridge University Press (2005)

Jesús Palacián, Flora Sayas and Patricia Yanguas
Regular and Singular Reductions in the Spatial Three-Body Problem
Qualitative Theory of Dynamical Systems 12 (2013) 143-182

Jesús Palacián, Flora Sayas and Patricia Yanguas
Flow reconstruction and invariant tori in the spatial three-body problem
Journal of Differential Equations 258 (2015) 2114-2159

W. Thirring
Klassische Dynamische Systeme
Springer (1977)

Inhalt

Bei noch zu ändernden Daten steht schonmal, was in etwa behandelt werden wird.

Freitag 12. April. Einführung, N-Körperproblem.

Freitag 18. April. Kotangentialbündel, Differentialformen.

Freitag 25. April. Symplektische Formen und Mannigfaltigkeiten, Lieklammer.

Freitag 22. Juni. Der Lagrangesche Kreisel.

Freitag 4. Mai. Liegruppen, Impulsabbildung.

Freitag 11. Mai. Reguläre Symmetriereduktion, reduziertes System.

Freitag 18. Mai. Geodätischer Fluß, freier starrer Körper.

Freitag 25. Mai. Dynamik des freier starrer Körpers.

Freitag 1. Juni. Integrierbare Systeme, Winkelwirkungsvariablen.

Freitag 15. Juni. Andoyervariablen, invariante Tori.

Freitag 29. Juni. Stabile Gleichgewichtspunkte, Normalformen

Freitag 6. Juli. Störungstheorie.

Freitag 13. Juli. Invariante Tori im räumlichen 3-Köperproblem.