Herr Reusken hat in der Vorlesung 5 das Cholesky-Verfahren,
die Stabilität von Cholesky und L-R / Gauß,
sowie eine Einleitung in die Q-R-Zerlegung, Givens-Rotationen und
die Definition der Householder-Matrix sowie deren Anwendung auf Vektoren behandelt.
In der 5. Woche behandeln wir dementsprechend
zunächst die Durchführung der L-D-LT-Zerlegung (Choleskey).
Dieses Verfahren ist aus Vorlesung und der Großübung bekannt.
Zudem haben wir bereits letzte Woche die zugehörige Anleitung Online gestellt
(Infos zu "verketteter Gauß" und Übergang zu L-D-LT);
bitte hiermit noch einmal vertraut machen.
Danach gehen wir dann zu orthogonalen Transformationen über.
Dort behandeln zunächst nur die Eigenschaften sowie die Givens-Rotationen.
Householder kommt dann nächste Woche.
Zu diesem Themenbereich gibt es wieder zwei Extraanleitungen.
Diese Verfahren werden wir nämlich auch noch beim Thema "Linearer Ausgleich" benötigen.
Die Extraanleitungen sind:
Infos zu Q-R : Givens, Housholder, Gleichungssysteme und Ausgleich.
Givens-Rotationen und deren Anwendung auf Gleichungssysteme waren ebenfalls in
der Vorlesung und der Großübung dran. Auch dieses Verfahren sollte man
zumindest vom Prinzip her verstehen, um in der Übung sinnvoll mitarbeiten zu können.
Bei den Hausübungen geht es zudem noch einmal um Lösung von linearen
Gleichungssytemen, etwa Aufgabe 1 der Klausur vom Frühjahr 2013 (eine typische Klausuraufgabe).
Zudem behandeln wir dort noch eine Aufgabe mit Parametern.
Aufgabe 1 der Klausur vom Frühjahr 2007
Untersuchung der positiven Definitheit und Lösen eines Gleichungssystems. GetLaTeX-Lösung
Siehe auch: Infos zu "verketteter Gauß" und Übergang zu L-D-LT aus letzter Woche.
Aufgabe 4.1 - Teile a), d), e) (steht bei Aufgaben unter Kapitel 4 wird aber inzwischen in Kapitel 3 behandelt)
Aufgabe 3.26 - (diese Woche nur) mit Givens
Analog Aufgabe 3.27 - (diese Woche nur) mit Givens
Hausaufgaben (Vorbereitung auf die Minitests und Klausur) sind die Aufgaben
Verständnisfragen
Beim eLearning können jetzt die Aufgabenbereiche 1 und 2 bearbeitet werden.
Ein Beispiel mit Parametern (und damit ohne Taschenrechner), wie es auch in der Klausur dran kommen kann.
Bestimme die Lösung von A x = b mittels LR-Zerlegung mit Pivotisierung für
A =
╭ │ │ │ ╰
1
1/2
1+a
2
1
2
2
4
3
╮ │ │ │ ╯
und
b =
╭ │ │ │ ╰
2+a+c
4+2c
5+8c
╮ │ │ │ ╯
bzw.
b =
╭ │ │ │ ╰
1
2c
1
╮ │ │ │ ╯
Aufgabe 2 der Klausur vom Frühjahr 2005
(Untersuchung der positiven Definitheit und Lösen eines Gleichungssystems.) GetLaTeX-Lösung
Aufgabe 4.1 - Teile b), c), f), g)
Aufgabe 3.26 - Wir berechnen auch die elementaren orthogonalen Transformationsmatrizen (vorerst nur) mit Givens für x = (3,2,3)^T.
